ln 2 (2 का प्राकृतिक लघुगणक) क्या है?
ln 2, 2 का प्राकृतिक लघुगणक है: वह घात जिससे e को उठाने पर 2 मिलता है। ज्यामितीय रूप से यह x = 1 से x = 2 तक वक्र y = 1/x के नीचे का क्षेत्रफल है। संख्यात्मक रूप से, 2.71828… को 0.69314… घात देने पर ठीक 2 मिलता है।
∫₁² 1/x dx = ln(2) − ln(1) = ln 2 ≈ 0.6931. This is the definition of natural log: ln(a) is the area under 1/x from 1 to a.
ln 2 अर्ध-आयु नियतांक है। कोई भी राशि जो किसी स्थिर दर से आधी होती है, N(t) = N₀ · e^(-λt) को संतुष्ट करती है। उसकी अर्ध-आयु t₁/₂ = ln(2)/λ ≈ 0.693/λ होती है। यह रेडियोधर्मी क्षय, रक्तधारा से दवा के साफ़ होने, कैपेसिटर के discharge और कॉफी के ठंडा होने पर लागू होता है।
1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + ... converges to ln 2 ≈ 0.6931, oscillating around the limit. Convergence is slow: every other term overshoots.
ln 2 पारातीत है (Lindemann-Weierstrass, 1885)। सूचना सिद्धांत में यह nats और bits के बीच रूपांतरण करता है: 1 bit = ln(2) nats ≈ 0.693 nats. श्रेणी 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ⋯ ठीक ln 2 पर अभिसरित होती है। निकाला गया मान: 0.69314718055994530941723212145817…
N(t) = N₀ · 2^(−t/t½) = N₀ · e^(−t·ln2/t½). ln 2 ≈ 0.693 is the decay constant. After 1 half-life: 50% remains. After 10: 0.1%.
2 का प्राकृतिक लघुगणक लगभग 0.69314718055994530941 है। यह अपरिमेय और पारातीत है। ln 2, x = 1 से x = 2 तक hyperbola y = 1/x के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर है। यह हर doubling और halving को नियंत्रित करता है: जो राशि दर r से बढ़ती है, वह ln(2)/r समय में दोगुनी हो जाती है। सूचना सिद्धांत में 1 bit of information = ln 2 nats. Computing में n मानों को दर्शाने के लिए आवश्यक binary digits की संख्या log₂(n) = ln(n)/ln(2) होती है।
2 का प्राकृतिक लघुगणक is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the वैकल्पिक हार्मोनिक श्रेणी.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
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