ln 2 কী? (2-এর প্রাকৃতিক লগারিদম)
ln 2 হলো 2-এর natural logarithm: অর্থাৎ e-কে যে ঘাতে তুললে 2 পাওয়া যায়। জ্যামিতিকভাবে এটি x = 1 থেকে x = 2 পর্যন্ত y = 1/x বক্ররেখার নিচের ক্ষেত্রফল। সংখ্যাগতভাবে, 2.71828…-কে 0.69314… ঘাতে তুললে ঠিক 2 পাওয়া যায়।
∫₁² 1/x dx = ln(2) − ln(1) = ln 2 ≈ 0.6931। Natural log-এর সংজ্ঞা এভাবেই: ln(a) হলো 1/x-এর নিচে 1 থেকে a পর্যন্ত ক্ষেত্রফল।
ln 2 হলো half-life-এর ধ্রুবক। যে কোনো পরিমাণ যদি একটি নির্দিষ্ট হারে অর্ধেক হতে থাকে, তবে N(t) = N₀ · e^(-λt)। তার half-life হলো t₁/₂ = ln(2)/λ ≈ 0.693/λ। রেডিওঅ্যাক্টিভ ক্ষয়, রক্তে ওষুধের ঘনত্ব কমা, capacitor-এর discharge, এমনকি কফি ঠান্ডা হওয়া–সব ক্ষেত্রেই এই ধ্রুবক দেখা যায়।
1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + ... ধীরে ধীরে ln 2 ≈ 0.6931-এর দিকে যায়, এবং সীমাটিকে পালা করে অতিক্রম করে।
ln 2 অতীন্দ্রিয় (Lindemann–Weierstrass, 1885)। information theory-তে এটি nats ও bits-এর মধ্যে রূপান্তর করে: 1 bit = ln(2) nats ≈ 0.693 nats। ধারা 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ⋯ ঠিক ln 2-তে অভিসারিত হয়। এর দশমিক মান: 0.69314718055994530941723212145817…
N(t) = N₀ · 2^(−t/t½) = N₀ · e^(−t·ln2/t½)। ln 2 ≈ 0.693 হলো ক্ষয়-ধ্রুবক। 1 half-life পরে থাকে 50%। 10 half-life পরে থাকে মাত্র 0.1%।
2-এর natural logarithm প্রায় 0.69314718055994530941। এটি অমূলদ এবং অতীন্দ্রিয়। ln 2 হলো x = 1 থেকে x = 2 পর্যন্ত hyperbola y = 1/x-এর নিচের ক্ষেত্রফল। এটি doubling ও halving–দুটিকেই নিয়ন্ত্রণ করে: r হারে বাড়তে থাকা কোনো পরিমাণ ln(2)/r সময়ে দ্বিগুণ হয়। information theory-তে 1 bit তথ্য = ln 2 nats। computing-এ, nটি মান প্রকাশ করতে যে সংখ্যক binary digit লাগে, তা log₂(n) = ln(n)/ln(2)।
2-এর প্রাকৃতিক লগারিদম is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the পর্যায়ক্রমিক হারমনিক ধারা.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
এখনই খেলুন - বিনামূল্যেকোনো অ্যাকাউন্টের প্রয়োজন নেই। যেকোনো ডিভাইসে কাজ করে।
