Apa itu Masalah Basel?
Masalah Basel menanyakan: berapa nilai tepat dari 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ⋯? Deret itu berkonvergensi, tetapi menuju ke apa? Pietro Mengoli mengajukannya pada 1650. Pertanyaan ini membingungkan setiap matematikawan selama 84 tahun hingga Euler menyelesaikannya pada 1734 saat berusia 28 tahun.
Partial sums approach π²/6 ≈ 1.6449 slowly. Euler proved the limit equals π²/6 in 1734, connecting analysis to geometry.
Bukti Euler memfaktorkan deret Taylor untuk sin(x)/x sebagai hasil kali tak hingga atas akar-akarnya ±π, ±2π, ±3π… Dengan membandingkan koefisien x² dari bentuk hasil kali dengan koefisien Taylor, kita langsung memperoleh Σ 1/n² = π²/6. Ini adalah salah satu perhitungan paling termasyhur dalam matematika, dan alasan π muncul di sini bukanlah kebetulan: lingkaran dan bola memiliki kaitan alami dengan jumlah atas bilangan bulat melalui fungsi zeta Riemann.
Each term 1/n^2 decreases rapidly. Their sum converges to exactly pi^2/6 ~1.6449.
Hasil ini dapat digeneralisasi: ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945, dan semua nilai zeta genap adalah kelipatan rasional dari pangkat-pangkat π. Nilai ganjil ζ(3), ζ(5), ζ(7)… jauh lebih misterius. Apéry membuktikan pada 1978 bahwa ζ(3) irasional, tetapi tidak ada bentuk tertutup dalam π yang diketahui.
Probabilitas bahwa dua bilangan bulat yang dipilih secara acak tidak memiliki faktor persekutuan (koprima) tepat sama dengan 6/π², yaitu kebalikan dari π²/6. Nilainya sekitar 60,8%. Ini menghubungkan masalah Basel secara langsung dengan teori bilangan dan probabilitas.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Main sekarang - gratisTanpa akun. Bisa di perangkat apa saja.
