Christoffer De Geer 20 במרץ 2026

מהי בעיית באזל?

1 + 1/4 + 1/9 + ⋯ = π²/6

Σ 1/n² = π²/6 ≈ 1.64493. אוילר, 1734.

בעיית באזל שואלת: מהו הערך המדויק של 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ⋯? הטור מתכנס, אך אל מה? פייטרו מנגולי הציג אותה ב-1650. היא הביכה כל מתמטיקאי במשך 84 שנים עד שאוילר פתר אותה ב-1734 בגיל 28.

Partial sums of 1+1/4+1/9+... converging to π²/6

Partial sums approach π²/6 ≈ 1.6449 slowly. Euler proved the limit equals π²/6 in 1734, connecting analysis to geometry.

הוכחת אוילר פירקה את טור טיילור של sin(x)/x למכפלה אינסופית על פני שורשיו ±π, ±2π, ±3π… השוואת מקדם x² של צורת המכפלה למקדם טיילור נותנת ישירות Σ 1/n² = π²/6. זוהי אחת החישובים הנחגגים ביותר במתמטיקה, והסיבה ש-π מופיע כאן אינה מקרית: למעגלים ולכדורים יש קשרים טבעיים לסכומי מספרים שלמים דרך פונקציית זטא של רימן.

The first eight terms of the Basel series: 1/n^2

Each term 1/n^2 decreases rapidly. Their sum converges to exactly pi^2/6 ~1.6449.

התוצאה מתכללת: ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945, וכל ערכי זטא הזוגיים הם כפולות רציונליות של חזקות של π. הערכים האי-זוגיים ζ(3), ζ(5), ζ(7)… מסתוריים הרבה יותר. אפרי הוכיח ש-ζ(3) הוא אי-רציונלי ב-1978, אך לא ידועה צורה סגורה במונחי π.

פונקציית זטא של רימן → קבוע אפרי → פאי (π) → מכפלת ווליס → הטור ההרמוני →

Euler's proof idea: sin(x)/x as an infinite product

sin(x)/x = (1−x²/π²)(1−x²/4π²)(1−x²/9π²)…

Comparing x² coefficient: −1/π² − 1/4π² − 1/9π² − … = −1/6

Therefore 1/1² + 1/2² + 1/3² + … = π²/6 ∎

הסתברות מפתיעה

ההסתברות ששני מספרים שלמים שנבחרו באקראי אינם חולקים גורם משותף (זרים) היא בדיוק 6/pi^2, ההופכי של pi^2/6. זה כ-60.8%. הדבר מקשר את בעיית באזל ישירות לתורת המספרים ולהסתברות.

נושאים קשורים

פאי זטא של רימן אפרי

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

✓

⚙Engineering

–

🧬Biology

–

💻Computer Sci

–

📊Statistics

✓

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

כיצד אוילר פתר את בעית בזל?

tap · space

1 / 10

מוכנים לשחק?

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

שחקו עכשיו - בחינם

ללא חשבון. עובד בכל מכשיר.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.