Christoffer De Geer 20 березня 2026 р.

Що таке Базельська задача?

1 + 1/4 + 1/9 + ⋯ = π²/6

Σ 1/n² = π²/6 ≈ 1.64493. Ейлер, 1734.

Базельська задача запитує: яке точне значення 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ⋯? Ряд збігається, але до чого? П'єтро Менголі поставив її 1650 року. Вона ставила в глухий кут кожного математика протягом 84 років, доки Ейлер не розв'язав її 1734 року у віці 28 років.

Partial sums of 1+1/4+1/9+... converging to π²/6

Partial sums approach π²/6 ≈ 1.6449 slowly. Euler proved the limit equals π²/6 in 1734, connecting analysis to geometry.

Доведення Ейлера розклало ряд Тейлора для sin(x)/x у нескінченний добуток за його коренями ±π, ±2π, ±3π… Порівняння коефіцієнта при x² у формі добутку з коефіцієнтом Тейлора дає Σ 1/n² = π²/6 безпосередньо. Це одне з найвідоміших обчислень у математиці, і поява π тут не випадковість: кола та сфери мають природні зв'язки із сумами цілих чисел через дзета-функцію Рімана.

The first eight terms of the Basel series: 1/n^2

Each term 1/n^2 decreases rapidly. Their sum converges to exactly pi^2/6 ~1.6449.

Результат узагальнюється: ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945, і всі парні значення дзета є раціональними кратними степенів π. Непарні значення ζ(3), ζ(5), ζ(7)… набагато загадковіші. Апері довів, що ζ(3) ірраціональна, 1978 року, але замкненої форми через π не відомо.

Дзета-функція Рімана → Стала Апері → Пі (π) → Добуток Валліса → Гармонічний ряд →

Euler's proof idea: sin(x)/x as an infinite product

sin(x)/x = (1−x²/π²)(1−x²/4π²)(1−x²/9π²)…

Comparing x² coefficient: −1/π² − 1/4π² − 1/9π² − … = −1/6

Therefore 1/1² + 1/2² + 1/3² + … = π²/6 ∎

Несподівана ймовірність

Імовірність того, що два випадково вибрані цілі числа не мають спільного множника (взаємно прості), дорівнює точно 6/pi^2, оберненому до pi^2/6. Це приблизно 60.8%. Це безпосередньо пов'язує Базельську задачу з теорією чисел та ймовірністю.

Пов'язані теми

Пі Дзета Рімана Апері

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

✓

⚙Engineering

–

🧬Biology

–

💻Computer Sci

–

📊Statistics

✓

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

Як Ейлер розв’язав проблему Базеля?

tap · space

1 / 10

Готові грати?

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

Грати зараз - безкоштовно

Без реєстрації. Працює на будь-якому пристрої.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.