Τι είναι το πρόβλημα της Βασιλείας;
Το πρόβλημα της Βασιλείας ρωτά: ποια είναι η ακριβής τιμή του 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ⋯; Η σειρά συγκλίνει, αλλά σε τι; Ο Pietro Mengoli το έθεσε το 1650. Δυσκόλεψε κάθε μαθηματικό για 84 χρόνια, μέχρι που ο Euler το έλυσε το 1734 σε ηλικία 28 ετών.
Partial sums approach π²/6 ≈ 1.6449 slowly. Euler proved the limit equals π²/6 in 1734, connecting analysis to geometry.
Η απόδειξη του Euler παραγοντοποίησε τη σειρά Taylor της sin(x)/x ως ένα άπειρο γινόμενο επί των ριζών της ±π, ±2π, ±3π… Συγκρίνοντας τον συντελεστή του x² της μορφής γινομένου με τον συντελεστή Taylor προκύπτει άμεσα Σ 1/n² = π²/6. Είναι ένας από τους πιο διάσημους υπολογισμούς στα μαθηματικά, και ο λόγος που το π εμφανίζεται εδώ δεν είναι σύμπτωση: οι κύκλοι και οι σφαίρες έχουν φυσικές συνδέσεις με αθροίσματα ακεραίων μέσω της συνάρτησης ζήτα του Riemann.
Each term 1/n^2 decreases rapidly. Their sum converges to exactly pi^2/6 ~1.6449.
Το αποτέλεσμα γενικεύεται: ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945, και όλες οι άρτιες τιμές ζήτα είναι ρητά πολλαπλάσια δυνάμεων του π. Οι περιττές τιμές ζ(3), ζ(5), ζ(7)… είναι πολύ πιο μυστηριώδεις. Ο Apéry απέδειξε ότι η ζ(3) είναι άρρητη το 1978, αλλά δεν είναι γνωστή καμία κλειστή μορφή ως προς το π.
Η πιθανότητα δύο τυχαία επιλεγμένοι ακέραιοι να μην έχουν κοινό παράγοντα (να είναι πρώτοι μεταξύ τους) είναι ακριβώς 6/π², το αντίστροφο του π²/6. Αυτό είναι περίπου 60.8%. Συνδέει το πρόβλημα της Βασιλείας άμεσα με τη θεωρία αριθμών και την πιθανότητα.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Παίξτε τώρα - δωρεάνΧωρίς λογαριασμό. Λειτουργεί σε κάθε συσκευή.
