ปัญหาบาเซิลคืออะไร?
ปัญหาบาเซิลถามว่า: ค่าที่แน่นอนของ 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ⋯ คือเท่าใด? อนุกรมนี้ลู่เข้า แต่ลู่เข้าสู่ค่าใด? Pietro Mengoli ตั้งคำถามนี้ในปี 1650 มันทำให้นักคณิตศาสตร์ทุกคนจนปัญญานานถึง 84 ปี จนกระทั่งออยเลอร์แก้มันได้ในปี 1734 ตอนอายุ 28 ปี
Partial sums approach π²/6 ≈ 1.6449 slowly. Euler proved the limit equals π²/6 in 1734, connecting analysis to geometry.
บทพิสูจน์ของออยเลอร์แยกตัวประกอบอนุกรมเทย์เลอร์ของ sin(x)/x เป็นผลคูณอนันต์เหนือรากของมัน ±π, ±2π, ±3π… การเปรียบเทียบสัมประสิทธิ์ x² ของรูปผลคูณกับสัมประสิทธิ์เทย์เลอร์ให้ Σ 1/n² = π²/6 โดยตรง มันเป็นหนึ่งในการคำนวณที่โด่งดังที่สุดในคณิตศาสตร์ และเหตุผลที่ π ปรากฏที่นี่ไม่ใช่เรื่องบังเอิญ: วงกลมและทรงกลมมีความเชื่อมโยงตามธรรมชาติกับผลรวมจำนวนเต็มผ่านฟังก์ชันซีตาของรีมันน์
Each term 1/n^2 decreases rapidly. Their sum converges to exactly pi^2/6 ~1.6449.
ผลลัพธ์นี้สรุปทั่วไปได้: ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945 และค่าซีตาของจำนวนคู่ทั้งหมดเป็นพหุคูณตรรกยะของกำลังของ π ส่วนค่าของจำนวนคี่ ζ(3), ζ(5), ζ(7)… ลึกลับยิ่งกว่ามาก อาเปรีพิสูจน์ว่า ζ(3) เป็นจำนวนอตรรกยะในปี 1978 แต่ไม่มีใครรู้รูปแบบปิดในรูปของ π
ความน่าจะเป็นที่จำนวนเต็มสองตัวที่สุ่มเลือกมาไม่มีตัวประกอบร่วม (เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์) คือ 6/pi^2 พอดี ซึ่งเป็นส่วนกลับของ pi^2/6 ค่านี้ประมาณ 60.8% มันเชื่อมโยงปัญหาบาเซิลเข้ากับทฤษฎีจำนวนและความน่าจะเป็นโดยตรง
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
เล่นตอนนี้ - ฟรีไม่ต้องสมัครสมาชิก ใช้ได้ทุกอุปกรณ์
