Co je Baselský problém?
Baselský problém se ptá: jaká je přesná hodnota 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ⋯? Řada konverguje, ale k čemu? Pietro Mengoli ho položil v roce 1650. 84 let to zmátlo každého matematiku, dokud to Euler nevyřešil v roce 1734 ve věku 28 let.
Partial sums approach π²/6 ≈ 1.6449 slowly. Euler proved the limit equals π²/6 in 1734, connecting analysis to geometry.
Eulerův důkaz rozložil Taylorovu řadu pro sin(x)/x jako nekonečný součin přes jeho kořeny ±π, ±2π, ±3π… Porovnáním koeficientu u x² v produktu s Taylorovým koeficientem se přímo dostává Σ 1/n² = π²/6. Je to jeden z nejuctívanějších výpočtů v matematice, a důvod, proč se π zde objevuje, není náhoda: kruhy a sféry mají přirozené spojení s celočíselnými součty přes Riemannovu zeta funkci.
Each term 1/n^2 decreases rapidly. Their sum converges to exactly pi^2/6 ~1.6449.
Výsledek lze zobecnit: ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945, a všechny sudé hodnoty zeta jsou racionální násobky mocnin π. Liché hodnoty ζ(3), ζ(5), ζ(7)… jsou daleko tajemnější. Apéry dokázal v roce 1978, že ζ(3) je iracionální, ale žádný uzavřený výraz pomocí π není znám.
Pravděpodobnost, že dvě náhodně vybraná celá čísla nemají společný dělitel (jsou nesoudělná), je přesně 6/pi^2, což je reciproká hodnota pi^2/6. Je to přibližně 60.8%. To spojuje Baselský problém přímo s teorií čísel a pravděpodobností.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Hrát nyní - zdarmaBez registrace. Funguje na jakémkoli zařízení.
