Christoffer De Geer 21 במרץ 2026

הטור ההרמוני

H = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... = infinity

מתבדר, אך לאט יותר מכל טור מתבדר אחר

הטור ההרמוני הוא סכום כל שברי היחידה. כל איבר 1/n שואף לאפס, מה שעשוי לרמוז שהסכום מתכנס, אך הוא אינו מתכנס. ההוכחה משתמשת בקיבוץ: 1/3+1/4 > 1/2, אז 1/5+1/6+1/7+1/8 > 1/2, וכל קבוצה כזו מוסיפה לפחות 1/2, כך שהסכום עובר כל חסם. ובכל זאת הוא מתבדר באיטיות יוצאת דופן: כדי להגיע לסכום חלקי של 100 נדרשים יותר איברים מאטומים ביקום הנצפה.

Oresme's proof: grouping shows divergence

1 + 1/2 + (1/3+1/4) + (1/5+…+1/8) + …

Each group ≥ 1/2: 1/3+1/4 > 2×1/4 = 1/2 and 1/5+…+1/8 > 4×1/8 = 1/2

We can always add another group ≥ 1/2, so the total grows without bound. QED (Oresme ~1360)

H(n) grows like ln(n) plus γ

H(n) and ln(n) grow together, always differing by approximately γ ≈ 0.5772. Both diverge: to reach H(n) = 100 requires about 10^43 terms.

How absurdly slow: milestones for H(n) exceeding round numbers

~10^43 terms are needed to reach H(n)=100. More than atoms in the observable universe.

הקבוע של אוילר-מסקרוני → פונקציית הזטא של רימן → הקבוע של מייסל-מרטנס → בעיית בזל → הלוגריתם הטבעי של 2 →

נושאים קשורים

גמא מייסל מרטנס זטא של רימן

עובדות מפתח על הטור ההרמוני

הטור ההרמוני 1 + 1/2 + 1/3 + ... מתבדר, הוכח על ידי ניקול אורם בסביבות 1350. למרות שכל איבר שואף לאפס, הסכום עובר כל חסם. סכומים חלקיים גדלים כמו ln(n) + gamma כאשר gamma ≈ 0.5772 הוא הקבוע של אוילר-מסקרוני. אחרי מיליון איברים הסכום הוא רק כ-14. כדי להגיע ל-100 נדרשים יותר מ-10^43 איברים. הטור המתחלף 1 - 1/2 + 1/3 - ... מתכנס ל-ln 2.

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

✓

⚙Engineering

–

🧬Biology

–

💻Computer Sci

✓

📊Statistics

–

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

✓

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

מהי הסדרה ההרמונית?

tap · space

1 / 10

מוכנים לשחק?

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

שחקו עכשיו - בחינם

ללא חשבון. עובד בכל מכשיר.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.