Що таке комплексні числа?
Комплексне число має дві частини: дійсну та уявну. Уявна одиниця i задовольняє i² = -1. Кожне дійсне число є комплексним числом із b = 0. Комплексні числа заповнюють 2D-площину, а не 1D-пряму, даючи кожному поліноміальному рівнянню рівно стільки коренів, скільки його степінь.
Multiplying by i is a 90-degree counterclockwise rotation. Multiplying by i twice (i.e. by i²) is a 180-degree rotation, which turns 1 into -1. So i² = -1 is not an algebraic trick; it is a rotation.
Над дійсними числами x²+1=0 не має розв'язку. Над комплексними числами він має два: i та -i. Основна теорема алгебри стверджує: розширте до комплексних чисел, і кожен многочлен степеня n матиме рівно n коренів.
| POLYNOMIAL | REAL ROOTS | COMPLEX |
|---|---|---|
| x - 3 = 0 | 1 (x=3) | 1 |
| x² - 4 = 0 | 2 (±2) | 2 |
| x² + 1 = 0 | 0 real roots | 2 (±i) |
| x³ - 1 = 0 | 1 real root | 3 |
| x⁴ + 4 = 0 | 0 real roots | 4 |
| Every degree-n polynomial has exactly n complex roots (counting multiplicity) |
Комплексні числа розширюють дійсну пряму до 2D-площини, вводячи i, де i у квадраті дорівнює -1. Кожне комплексне число z = a + bi має дійсну частину a, уявну частину b, модуль |z| = sqrt(a у квадраті + b у квадраті) та аргумент arg(z) = atan(b/a). Множення на e^(i*theta) повертає на theta радіанів. Основна теорема алгебри стверджує, що кожен многочлен степеня n має рівно n комплексних коренів з урахуванням кратності. Комплексні числа - основа квантової механіки, обробки сигналів і тотожності Ейлера.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Грати зараз - безкоштовноБез реєстрації. Працює на будь-якому пристрої.
