Τι είναι οι μιγαδικοί αριθμοί;
Ένας μιγαδικός αριθμός έχει δύο μέρη: ένα πραγματικό μέρος και ένα φανταστικό μέρος. Η φανταστική μονάδα i ικανοποιεί την i² = -1. Κάθε πραγματικός αριθμός είναι μιγαδικός με b = 0. Οι μιγαδικοί αριθμοί γεμίζουν ένα δισδιάστατο επίπεδο αντί για μια μονοδιάστατη ευθεία, δίνοντας σε κάθε πολυωνυμική εξίσωση ακριβώς τόσες ρίζες όσος είναι ο βαθμός της.
Multiplying by i is a 90-degree counterclockwise rotation. Multiplying by i twice (i.e. by i²) is a 180-degree rotation, which turns 1 into -1. So i² = -1 is not an algebraic trick; it is a rotation.
Στους πραγματικούς αριθμούς, η x²+1=0 δεν έχει λύση. Στους μιγαδικούς έχει δύο: i και -i. Το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας λέει: επεκτείνετε στους μιγαδικούς και κάθε πολυώνυμο βαθμού n έχει ακριβώς n ρίζες.
| POLYNOMIAL | REAL ROOTS | COMPLEX |
|---|---|---|
| x - 3 = 0 | 1 (x=3) | 1 |
| x² - 4 = 0 | 2 (±2) | 2 |
| x² + 1 = 0 | 0 real roots | 2 (±i) |
| x³ - 1 = 0 | 1 real root | 3 |
| x⁴ + 4 = 0 | 0 real roots | 4 |
| Every degree-n polynomial has exactly n complex roots (counting multiplicity) |
Οι μιγαδικοί αριθμοί επεκτείνουν την πραγματική ευθεία σε ένα δισδιάστατο επίπεδο εισάγοντας το i, όπου το i στο τετράγωνο ισούται με -1. Κάθε μιγαδικός αριθμός z = a + bi έχει πραγματικό μέρος a, φανταστικό μέρος b, μέτρο |z| = sqrt(a στο τετράγωνο + b στο τετράγωνο), και όρισμα arg(z) = atan(b/a). Ο πολλαπλασιασμός επί e^(i*theta) περιστρέφει κατά theta ακτίνια. Το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας δηλώνει ότι κάθε πολυώνυμο βαθμού n έχει ακριβώς n μιγαδικές ρίζες μετρώντας την πολλαπλότητα. Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι το θεμέλιο της κβαντομηχανικής, της επεξεργασίας σήματος και της ταυτότητας του Euler.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Παίξτε τώρα - δωρεάνΧωρίς λογαριασμό. Λειτουργεί σε κάθε συσκευή.
