Co jsou komplexní čísla?
Komplexní číslo má dvě části: reálnou část a imaginární část. Imaginární jednotka i splňuje i² = -1. Každé reálné číslo je komplexní číslo s b = 0. Komplexní čísla vyplňují 2D rovinu spíše než 1D přímku, čímž dávají každé polynomické rovnici přesně tolik kořenů, jaký je její stupeň.
Multiplying by i is a 90-degree counterclockwise rotation. Multiplying by i twice (i.e. by i²) is a 180-degree rotation, which turns 1 into -1. So i² = -1 is not an algebraic trick; it is a rotation.
Nad reálnými čísly rovnice x²+1=0 nemá řešení. Nad komplexními čísly má dvě: i a -i. Základní věta algebry říká: rozšíříme-li na komplexní čísla, má každý polynom stupně n přesně n kořenů.
| POLYNOMIAL | REAL ROOTS | COMPLEX |
|---|---|---|
| x - 3 = 0 | 1 (x=3) | 1 |
| x² - 4 = 0 | 2 (±2) | 2 |
| x² + 1 = 0 | 0 real roots | 2 (±i) |
| x³ - 1 = 0 | 1 real root | 3 |
| x⁴ + 4 = 0 | 0 real roots | 4 |
| Every degree-n polynomial has exactly n complex roots (counting multiplicity) |
Komplexní čísla rozšiřují reálnou přímku do 2D roviny zavedením i, kde i na druhou rovná -1. Každé komplexní číslo z = a + bi má reálnou část a, imaginární část b, modul |z| = sqrt(a na druhou + b na druhou) a argument arg(z) = atan(b/a). Násobení e^(i*theta) rotuje o theta radiánů. Základní věta algebry uvádí, že každý polynom stupně n má přesně n komplexních kořenů s počítáním násobnosti. Komplexní čísla jsou základem kvantové mechaniky, zpracování signálů a Eulerovy identity.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Hrát nyní - zdarmaBez registrace. Funguje na jakémkoli zařízení.
