Що таке тотожність Ейлера?
Тотожність Ейлера випливає з формули Ейлера: eix = cos(x) + i·sin(x). Підставляючи x = π, отримуємо eiπ = cos(π) + i·sin(π) = −1, отже eiπ + 1 = 0.
eiθ креслить одиничне коло. Поворот на π приводить до −1. Додай 1 і отримаєш 0.
Вона поєднує арифметику (0 і 1), алгебру (i), геометрію (π) та математичний аналіз (e) · чотири різні галузі математики · в одному рівнянні приголомшливої простоти. Річард Фейнман назвав її «найчудовішою формулою в математиці».
Леонард Ейлер (1707–1783) опублікував формулу eix = cos(x) + i·sin(x) у своїй праці Introductio in analysin infinitorum (1748). Тотожність є її частковим випадком при x = π. Ейлер ввів або популяризував позначення e, i, f(x), Σ та π.
The Taylor series for eˣ groups into cos(π) for the real terms and i·sin(π) for the imaginary terms. Since cos(π) = −1 and sin(π) = 0, we get e^(iπ) = −1, so e^(iπ) + 1 = 0.
Формула e^(i*theta) описує одиничне коло на комплексній площині зі зростанням theta. e^(i*pi) - це поворот рівно на pi радіанів (180 градусів) від 1, що приводить у -1. Додавання 1 повертає вас до 0. Ось чому e^(i*pi) + 1 = 0: це півоберт комплексної площини, виражений як рівняння.
e^(iθ) is a rotation operator. At θ=π you have rotated exactly half a circle. The point 1 on the real axis travels to -1. Adding 1 to both sides gives e^(iπ) + 1 = 0.
Тотожність Ейлера e^(i*pi) + 1 = 0 поєднує п'ять найважливіших сталих математики: e (основу натуральних логарифмів), i (уявну одиницю), pi (сталу кола), 1 (мультиплікативну одиницю) та 0 (адитивну одиницю). Вона безпосередньо випливає з формули Ейлера e^(i*theta) = cos(theta) + i*sin(theta) при theta = pi. Оскільки cos(pi) = -1 і sin(pi) = 0, отримуємо e^(i*pi) = -1. Уперше опублікована Ейлером близько 1748 року. Визнана найкрасивішим рівнянням у математиці в багатьох опитуваннях.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Грати зараз - безкоштовноБез реєстрації. Працює на будь-якому пристрої.
