複素数とは？
z = a + bi
実部 + 虚部
複素数は、実部と虚部の 2 つの部分からなる。虚数単位 i は i² = -1 を満たす。すべての実数は b = 0 の複素数とみなせる。複素数は 1 次元の直線ではなく 2 次元の平面を埋め尽くし、そのおかげでどんな多項式方程式も次数と同じ数だけ根をもつ。
複素平面：すべての数を点または回転として見る
i² = -1：負の平方が幾何学的に意味を持つ理由
i を掛けることは反時計回りに 90 度回転することに相当する。i を 2 回掛ける、すなわち i² を掛けることは 180 度回転であり、1 を -1 に送る。したがって i² = -1 は代数上のトリックではなく、回転を表している。
複素数の乗法：回転と拡大縮小を同時に行う
代数学の基本定理：あらゆる多項式は完全に分解する
実数の上では x²+1=0 に解はない。複素数の上では i と -i の 2 つの解をもつ。代数学の基本定理は、複素数まで拡張すれば、n 次多項式は重複度込みで正確に n 個の根をもつと述べている。
代数学の基本定理：あらゆる多項式は完全に分解する
| 多項式 | 実数解 | 複素数では |
|---|---|---|
| x - 3 = 0 | 1 個（x=3） | 1 |
| x² - 4 = 0 | 2 個（±2） | 2 |
| x² + 1 = 0 | 実数解なし | 2 個（±i） |
| x³ - 1 = 0 | 実数解 1 個 | 3 |
| x⁴ + 4 = 0 | 実数解なし | 4 |
| 任意の n 次多項式は、重複度込みでちょうど n 個の複素根をもつ |
複素数の要点
複素数は、i² = -1 を満たす i を導入することで、実数直線を 2 次元平面へ拡張する。複素数 z = a + bi は実部 a、虚部 b、絶対値 |z| = sqrt(a² + b²)、偏角 arg(z) をもつ。e^(iθ) を掛けることは θ ラジアンだけ回転することに対応する。代数学の基本定理によれば、n 次多項式は重複度込みで正確に n 個の複素根をもつ。複素数は量子力学、信号処理、オイラーの恒等式の基盤である。
使用分野
数学
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物理学
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工学
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生物学
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計算機科学
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統計学
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金融
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芸術
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建築
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音楽
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暗号学
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天文学
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化学
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哲学
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地理学
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生態学
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問題
a+biの複素共役とは何ですか？
タップ · スペース
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Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
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