सम्मिश्र संख्याएँ क्या हैं?
एक सम्मिश्र संख्या के दो भाग होते हैं: एक वास्तविक भाग और एक काल्पनिक भाग। काल्पनिक इकाई i, i² = -1 को संतुष्ट करती है। हर वास्तविक संख्या b = 0 वाली एक सम्मिश्र संख्या है। सम्मिश्र संख्याएँ 1D रेखा के बजाय 2D समतल भरती हैं, जिससे हर बहुपद समीकरण को उसकी घात के बराबर जड़ें मिलती हैं।
i से गुणा करना 90 डिग्री वामावर्त घूर्णन है। i से दो बार गुणा करना (अर्थात i² से) 180 डिग्री का घूर्णन है, जो 1 को -1 में बदल देता है। इसलिए i² = -1 कोई बीजगणितीय चाल नहीं, बल्कि एक घूर्णन है।
वास्तविक संख्याओं पर x²+1=0 का कोई हल नहीं है। सम्मिश्र संख्याओं पर इसके दो हल हैं: i और -i। बीजगणित का मूल प्रमेय कहता है: सम्मिश्र संख्याओं तक विस्तार करो और घात n वाले हर बहुपद की ठीक n जड़ें होंगी।
| POLYNOM | REELLE NULLSTELLEN | KOMPLEX |
|---|---|---|
| x - 3 = 0 | 1 (x=3) | 1 |
| x² - 4 = 0 | 2 (±2) | 2 |
| x² + 1 = 0 | 0 वास्तविक जड़ें | 2 (±i) |
| x³ - 1 = 0 | 1 वास्तविक जड़ | 3 |
| x⁴ + 4 = 0 | 0 वास्तविक जड़ें | 4 |
| घात n वाले हर बहुपद की ठीक n सम्मिश्र जड़ें होती हैं, गुणनगुणिता सहित |
सम्मिश्र संख्याएँ i को जोड़कर वास्तविक रेखा को 2D समतल तक बढ़ाती हैं, जहाँ i का वर्ग -1 होता है। हर सम्मिश्र संख्या z = a + bi का वास्तविक भाग a, काल्पनिक भाग b, मानांक |z| = sqrt(a squared + b squared), और आर्गुमेंट arg(z) = atan(b/a) होता है। e^(i*theta) से गुणा करने पर theta रेडियन का घूर्णन होता है। बीजगणित का मूल प्रमेय कहता है कि घात n वाले हर बहुपद की, गुणनगुणिता सहित, ठीक n सम्मिश्र जड़ें होती हैं। सम्मिश्र संख्याएँ क्वांटम यांत्रिकी, सिग्नल प्रोसेसिंग और ऑयलर की पहचान की नींव हैं।
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
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