복소수란 무엇인가?
z = a + bi
실수 부분 + 허수 부분
복소수는 실수 부분과 허수 부분이라는 두 부분으로 이루어진다. 허수 단위 i는 i² = -1 을 만족한다. 모든 실수는 b = 0인 복소수로 볼 수 있다. 복소수는 1차원 직선이 아니라 2차원 평면을 이루며, 그 덕분에 모든 다항방정식은 차수만큼의 근을 정확히 갖게 된다.
복소평면: 모든 수를 점 또는 회전으로 보기
i² = -1: 음수의 제곱근이 기하적으로 왜 자연스러운가
i를 곱한다는 것은 반시계 방향으로 90도 회전시키는 것과 같다. i를 두 번 곱하면(즉 i²) 180도 회전이 되어 1이 -1로 간다. 따라서 i² = -1 은 단순한 대수적 요령이 아니라 회전의 언어다.
복소수의 곱셈: 회전과 크기 조절을 동시에
대수학의 기본정리: 모든 다항식은 완전히 분해된다
실수 범위에서는 x²+1=0에 해가 없다. 하지만 복소수 범위에서는 i와 -i라는 두 해가 있다. 대수학의 기본정리는 복소수까지 확장하면 차수 n인 모든 다항식이 중복도를 포함해 정확히 n개의 근을 가진다고 말한다.
대수학의 기본정리: 모든 다항식은 완전히 분해된다
| POLYNOM | REELLE NULLSTELLEN | KOMPLEX |
|---|---|---|
| x - 3 = 0 | 1 (x=3) | 1 |
| x² - 4 = 0 | 2 (±2) | 2 |
| x² + 1 = 0 | 0 reelle Nullstellen | 2 (±i) |
| x³ - 1 = 0 | 1 reelle Nullstelle | 3 |
| x⁴ + 4 = 0 | 0 reelle Nullstellen | 4 |
| Jedes Polynom vom Grad n hat genau n komplexe Nullstellen, Vielfachheiten mitgezählt |
관련 주제
복소수의 핵심 사실
복소수는 i를 도입함으로써 실수 직선을 2차원 평면으로 확장한다. 여기서 i² = -1 이다. 모든 복소수 z = a + bi는 실수부 a, 허수부 b, 절댓값 |z| = √(a² + b²), 편각 arg(z)를 가진다. e^(iθ)를 곱하는 것은 θ 라디안만큼 회전시키는 것과 같다. 대수학의 기본정리는 차수 n인 모든 다항식이 중복도를 포함해 정확히 n개의 복소근을 가진다고 말한다. 복소수는 양자역학, 신호처리, 오일러의 항등식의 토대다.
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