מהם מספרים מרוכבים?
למספר מרוכב יש שני חלקים: חלק ממשי וחלק מדומה. היחידה המדומה i מקיימת i² = -1. כל מספר ממשי הוא מספר מרוכב עם b = 0. מספרים מרוכבים ממלאים מישור דו-ממדי במקום ישר חד-ממדי, ובכך מעניקים לכל משוואה פולינומית בדיוק כמספר שורשים כדרגתה.
Multiplying by i is a 90-degree counterclockwise rotation. Multiplying by i twice (i.e. by i²) is a 180-degree rotation, which turns 1 into -1. So i² = -1 is not an algebraic trick; it is a rotation.
מעל המספרים הממשיים, ל-x²+1=0 אין פתרון. מעל המספרים המרוכבים יש לו שניים: i ו--i. המשפט היסודי של האלגברה אומר: הרחיבו למספרים מרוכבים ולכל פולינום מדרגה n יש בדיוק n שורשים.
| POLYNOMIAL | REAL ROOTS | COMPLEX |
|---|---|---|
| x - 3 = 0 | 1 (x=3) | 1 |
| x² - 4 = 0 | 2 (±2) | 2 |
| x² + 1 = 0 | 0 real roots | 2 (±i) |
| x³ - 1 = 0 | 1 real root | 3 |
| x⁴ + 4 = 0 | 0 real roots | 4 |
| Every degree-n polynomial has exactly n complex roots (counting multiplicity) |
מספרים מרוכבים מרחיבים את ישר המספרים למישור דו-ממדי על ידי הכנסת i, כאשר i בריבוע שווה ל--1. לכל מספר מרוכב z = a + bi יש חלק ממשי a, חלק מדומה b, ערך מוחלט |z| = sqrt(a בריבוע + b בריבוע), וארגומנט arg(z) = atan(b/a). כפל ב-e^(i*theta) מסובב ב-theta רדיאנים. המשפט היסודי של האלגברה קובע שלכל פולינום מדרגה n יש בדיוק n שורשים מרוכבים בספירת ריבוי. מספרים מרוכבים הם הבסיס של מכניקת הקוונטים, עיבוד אותות וזהות אוילר.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
שחקו עכשיו - בחינםללא חשבון. עובד בכל מכשיר.
