Christoffer De Geer 21 березня 2026 р.

Системи числення

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

кожна множина містить усі множини перед нею

Математика побудувала п'ять основних систем числення, кожна з яких є розширенням попередньої. Кожне розширення було спричинене рівнянням, що не мало розв'язку: "що таке 3-5?" зумовило цілі числа; "що таке 1/3?" зумовило раціональні; "що таке sqrt(2)?" зумовило дійсні; "що таке sqrt(-1)?" зумовило комплексні числа.

The five number systems: what problem each one solved

What each extension gains and what it loses

Table showing properties gained and lost when extending number systems
SYSTEM	GAINED	LOST/CHANGED
N (naturals)	counting, +, x	no subtraction
Z (integers)	subtraction, negatives	no division
Q (rationals)	division, fractions	no sqrt(2)
R (reals)	all limits, sqrt(2), pi	no sqrt(-1)
C (complex)	all polynomial roots	algebraically closed
H (quaternions)	3D rotations	ab not = ba
Each extension is a genuine enlargement, not just renaming

Number systems on the line: naturals, integers, rationals, reals

Blue: natural numbers ℕ. Green adds 0. Purple extends to negative integers ℤ. Orange adds fractions ℚ. Red: irrationals fill the rest of ℝ.

Ірраціональні числа → Трансцендентні числа → Комплексні числа → Нескінченність → Модульна арифметика →

Пов'язані теми

Модульна арифметика Ірраціональні числа Ланцюгові дроби

Ключові факти про системи числення

Математика має п'ять основних систем числення: натуральні числа N (лічба, без віднімання), цілі числа Z (додаємо віднімання та від'ємні), раціональні Q (додаємо ділення), дійсні R (додаємо границі, ірраціональні), комплексні числа C (додаємо sqrt(-1)). Кожне розширення розв'язувало рівняння, нерозв'язне в попередній системі. Комплексні числа алгебраїчно замкнені: кожне поліноміальне рівняння має розв'язок у C. Вкладення строге: N всередині Z всередині Q всередині R всередині C, де трансцендентні числа заповнюють зовнішнє кільце R.

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

–

⚙Engineering

–

🧬Biology

–

💻Computer Sci

✓

📊Statistics

–

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

✓

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

✓

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

Чому не можна ділити на нуль?

tap · space

1 / 10

Готові грати?

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

Грати зараз - безкоштовно

Без реєстрації. Працює на будь-якому пристрої.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.