เอกลักษณ์ของออยเลอร์คืออะไร?
เอกลักษณ์ของออยเลอร์ได้มาจากสูตรของออยเลอร์: eix = cos(x) + i·sin(x) เมื่อแทน x = π จะได้ eiπ = cos(π) + i·sin(π) = −1 ดังนั้น eiπ + 1 = 0
eiθ เดินตามวงกลมหนึ่งหน่วย การหมุนเป็นมุม π จะสิ้นสุดที่ −1 บวก 1 เข้าไปแล้วได้ 0
สมการเชื่อมโยง เลขคณิต (0 และ 1), พีชคณิต (i), เรขาคณิต (π) และ การวิเคราะห์ (e) · สี่สาขาที่แตกต่างกันของคณิตศาสตร์ · เข้าด้วยกันในสมการเดียวที่เรียบง่ายอย่างน่าทึ่ง ริชาร์ด ไฟน์แมนเรียกสมการนี้ว่า "สูตรที่น่าทึ่งที่สุดในว ิชาคณิตศาสตร์"
เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (1707–1783) เผยแพร่สูตร eix = cos(x) + i·sin(x) ในหนังสือ Introductio in analysin infinitorum (1748) เอกลักษณ์นี้เป็นกรณีเฉพาะเมื่อ x = π ออยเลอร์เป็นผู้แนะนำหรือทำให้สัญลักษณ์ e, i, f(x), Σ และ π เป็นที่รู้จัก
The Taylor series for eˣ groups into cos(π) for the real terms and i·sin(π) for the imaginary terms. Since cos(π) = −1 and sin(π) = 0, we get e^(iπ) = −1, so e^(iπ) + 1 = 0.
สูตร e^(i*theta) ลากเส้นเป็นวงกลมหนึ่งหน่วยบนระนาบเชิงซ้อนเมื่อ theta เพิ่มขึ้น e^(i*pi) คือการหมุน pi เรเดียน (180 องศา) พอดีจาก 1 มาลงที่ -1 การบวก 1 จะนำคุณกลับมาที่ 0 นี่คือเหตุผลที่ e^(i*pi) + 1 = 0: มันคือการหมุนครึ่งรอบของระนาบเชิงซ้อนที่แสดงในรูปสมการ
e^(iθ) is a rotation operator. At θ=π you have rotated exactly half a circle. The point 1 on the real axis travels to -1. Adding 1 to both sides gives e^(iπ) + 1 = 0.
เอกลักษณ์ของออยเลอร์ e^(i*pi) + 1 = 0 รวมค่าคงตัวที่สำคัญที่สุดห้าตัวในคณิตศาสตร์เข้าด้วยกัน: e (ฐานของลอการิทึมธรรมชาติ), i (หน่วยจินตภาพ), pi (ค่าคงตัวของวงกลม), 1 (เอกลักษณ์การคูณ), และ 0 (เอกลักษณ์การบวก) มันตามมาโดยตรงจากสูตรของออยเลอร์ e^(i*theta) = cos(theta) + i*sin(theta) โดยกำหนด theta = pi เนื่องจาก cos(pi) = -1 และ sin(pi) = 0 เราจึงได้ e^(i*pi) = -1 ตีพิมพ์ครั้งแรกโดยออยเลอร์ราวปี 1748 ได้รับการโหวตให้เป็นสมการที่สวยงามที่สุดในคณิตศาสตร์จากการสำรวจหลายครั้ง
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
เล่นตอนนี้ - ฟรีไม่ต้องสมัครสมาชิก ใช้ได้ทุกอุปกรณ์
