ผลคูณวอลลิสคืออะไร?
ผลคูณวอลลิสเขียน π/2 เป็นผลคูณอนันต์ของเศษส่วนอย่างง่าย: (2/1) × (2/3) × (4/3) × (4/5) × (6/5) × (6/7) × ⋯ จำนวนคู่แต่ละตัวปรากฏสองครั้ง ครั้งหนึ่งใหญ่กว่าและอีกครั้งเล็กกว่าเพื่อนบ้านของมัน คูณพจน์ให้มากพอแล้วผลคูณจะลู่เข้าสู่ π/2 ≈ 1.5708
Wallis product: (2/1)(2/3)(4/3)(4/5)(6/5)(6/7)... The partial products converge to π/2 ≈ 1.5708 from below, oscillating around the limit.
John Wallis หาสูตรนี้ในปี 1655 จากปริพันธ์ ∫₀^(π/2) sinⁿ(x) dx โดยเปรียบเทียบกรณีของ n คู่และคี่ สิ่งที่ทำให้มันน่าทึ่งคือมันได้ π จากการคูณจำนวนตรรกยะล้วน ๆ โดยไม่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิต ผลคูณเดียวกันเกิดขึ้นจากเอกลักษณ์ของฟังก์ชันแกมมา: π = Γ(1/2)²
ผลคูณวอลลิสลู่เข้าช้ามาก: หลังจาก n คู่ ความคลาดเคลื่อนอยู่ในอันดับ 1/(4n) มันมีความสำคัญทางทฤษฎีอย่างมหาศาลในฐานะหนึ่งในผลคูณอนันต์ตัวแรก ๆ ที่เคยศึกษา เปิดเส้นทางสู่การวิเคราะห์ sin(x) = x∏(1 - x²/n²π²) และทฤษฎีทั้งหมดของผลคูณอนันต์ในการวิเคราะห์เชิงซ้อน
Even n: I(n) = (π/2)·(1/2)·(3/4)·(5/6)…(n−1)/n. Odd n: I(n) = 1·(2/3)·(4/5)…(n−1)/n. The ratio of adjacent integrals I(2n)/I(2n+1) → 1, giving the Wallis product.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
เล่นตอนนี้ - ฟรีไม่ต้องสมัครสมาชิก ใช้ได้ทุกอุปกรณ์
