ค่าคงตัวออยเลอร์-มาสเชโรนี (γ) คืออะไร?
อนุกรมฮาร์มอนิก 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ ลู่ออก แต่มันเติบโตช้าอย่างเหลือเชื่อ หลังจากหนึ่งล้านพจน์มันแทบจะถึงแค่ 14 ลอการิทึมธรรมชาติ ln(n) เติบโตในอัตราเดียวกัน ค่าคงตัวออยเลอร์-มาสเชโรนี γ คือช่องว่างที่แม่นยำระหว่างพวกมัน: γ = lim (1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ + 1/n) - ln(n)
The difference between the harmonic sum and ln(n) approaches γ ≈ 0.5772 as n → ∞. Convergence is very slow – the gap is still 0.001 at n = 1000.
γ ปรากฏทั่วการวิเคราะห์และทฤษฎีจำนวน มันเชื่อมโยงอนุกรมฮาร์มอนิกเข้ากับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์: γ = -ζ'(1) ในเชิงรูปนัย มันปรากฏในฟังก์ชันแกมมา Γ'(1) = -γ, ในการแจกแจงของช่องว่างจำนวนเฉพาะ, ในฟังก์ชันเบสเซล, และในการกระจายเชิงเส้นกำกับของฟังก์ชันไดแกมมา
คำถามว่า γ เป็นจำนวนตรรกยะหรืออตรรกยะ เป็นหนึ่งในปัญหาเปิดที่เก่าแก่ที่สุดในคณิตศาสตร์ นักคณิตศาสตร์เกือบทุกคนเชื่อว่ามันเป็นจำนวนอดิศัย แต่ไม่มีบทพิสูจน์ มันถูกคำนวณได้มากกว่า 6 แสนล้านตำแหน่งทศนิยม: 0.57721566490153286060651209008240243…
The harmonic partial sums H(n) (red, stepped) versus ln(n)+γ (blue, smooth). The gap between them approaches 0 but oscillates: H(n)−ln(n) → γ.
ค่าคงตัวออยเลอร์-มาสเชโรนี gamma ประมาณ 0.57721566490153286060 คำถามว่ามันเป็นจำนวนตรรกยะหรืออตรรกยะยังไม่มีคำตอบ ซึ่งเป็นหนึ่งในปัญหาเปิดที่โด่งดังที่สุดในคณิตศาสตร์ ออยเลอร์ตีพิมพ์มันครั้งแรกในปี 1734 มาสเชโรนีคำนวณมันอย่างเป็นอิสระในปี 1790 gamma ปรากฏในฟังก์ชันแกมมา, ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์, ทฤษฎีบทเมอร์เทินส์ว่าด้วยผลคูณจำนวนเฉพาะ, ฟังก์ชันเบสเซล, และการแจกแจงของช่องว่างจำนวนเฉพาะ เนื่องจากไม่มีอัลกอริทึมแบบสตรีม หลักของมันจึงถูกคำนวณล่วงหน้าและจัดเก็บไว้
ค่าคงตัวออยเลอร์-มาสเชโรนี γ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the ลิมิตฮาร์มอนิก-ลอการิทึม.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
เล่นตอนนี้ - ฟรีไม่ต้องสมัครสมาชิก ใช้ได้ทุกอุปกรณ์
