Cos'è la costante di Lévy?
Ogni numero reale ha le migliori approssimazioni razionali: frazioni p/q che sono più vicine a x di qualsiasi frazione con denominatore minore. I denominatori q₁, q₂, q₃, … crescono, ma a quale velocità? Paul Lévy dimostrò nel 1935 che per quasi ogni numero reale, qₙ^(1/n) converge a e^β ≈ 3.27582, dove β = π²/(12 ln 2).
For almost all real numbers, ln(qₙ) grows linearly at slope β ≈ 1.1865. The denominators of π's convergents (1,7,106,113,33102…) grow faster on average due to the anomalous partial quotient 292.
Il rapporto aureo φ = [1;1,1,1,…] ha denominatori di Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … che crescono a una velocità φ ≈ 1.618 per passo. Questo è molto più lento di e^β ≈ 3.276, ed è per questo che φ è il numero "più irrazionale": le sue approssimazioni migliorano più lentamente. La maggior parte dei numeri ha denominatori che crescono molto più velocemente, a una velocità e^β.
| φ = [1;1,1,1,…] | Typical number |
|---|---|
| qₙ grows as φⁿ ≈ 1.618ⁿ | qₙ grows as (e^β)ⁿ ≈ 3.276ⁿ |
| Slowest possible growth | Lévy's theorem |
Il valore β = π²/(12 ln 2) emerge dall'integrazione della distribuzione di Gauss-Kuzmin. Il ln 2 deriva dal lavorare in base 2 (binaria), e π² nasce dalle stesse fonti di ζ(2) = π²/6. La costante di Lévy: 1.1865691104156254… e^β = 3.275822918721811159787681882…
| n | Partial quotient aₙ | Convergent pₙ/qₙ | Denominator qₙ | ln(qₙ)/n |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 3/1 | 1 | 0.00 |
| 2 | 7 | 22/7 | 7 | 0.97 |
| 3 | 15 | 333/106 | 106 | 1.55 |
| 4 | 1 | 355/113 | 113 | 1.19 |
| 5 | 292 | 103993/33102 | 33102 | 2.52 |
| 6 | 1 | 104348/33215 | 33215 | 1.74 |
| 7 | 1 | 208341/66317 | 66317 | 1.54 |
La costante di Lévy beta = pi^2/(12 ln 2) ≈ 1.18657. Per quasi ogni numero reale, il denominatore dell'n-esimo convergente qn soddisfa qn^(1/n) che converge a e^beta ≈ 3.27582. Dimostrato da Paul Lévy nel 1935. Il rapporto aureo, con denominatori di Fibonacci che crescono a una velocità phi ≈ 1.618, è ben al di sotto della media, confermandolo come il numero più difficile da approssimare. La formula combina pi e ln 2, collegando la geometria del cerchio con i logaritmi attraverso la distribuzione di Gauss-Kuzmin.
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