Christoffer De Geer 20 Μαρτίου 2026

Τι είναι η σταθερά του Lévy;

β = π²/(12 ln 2) ≈ 1.18656…

e^β ≈ 3.27582. Αποδείχθηκε από τον Paul Lévy, 1935.

Κάθε πραγματικός αριθμός έχει βέλτιστες ρητές προσεγγίσεις: κλάσματα p/q που είναι πιο κοντά στο x από οποιοδήποτε κλάσμα με μικρότερο παρονομαστή. Οι παρονομαστές q₁, q₂, q₃, … αυξάνονται, αλλά με ποιον ρυθμό; Ο Paul Lévy απέδειξε το 1935 ότι για σχεδόν κάθε πραγματικό αριθμό, το qₙ^(1/n) συγκλίνει στο e^β ≈ 3.27582, όπου β = π²/(12 ln 2).

π convergent denominators grow exponentially at rate e^β

For almost all real numbers, ln(qₙ) grows linearly at slope β ≈ 1.1865. The denominators of π's convergents (1,7,106,113,33102…) grow faster on average due to the anomalous partial quotient 292.

Η χρυσή τομή φ = [1;1,1,1,…] έχει παρονομαστές Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … που αυξάνονται με ρυθμό φ ≈ 1.618 ανά βήμα. Αυτό είναι πολύ πιο αργό από το e^β ≈ 3.276, γι' αυτό η φ είναι ο «πιο άρρητος» αριθμός: οι προσεγγίσεις της βελτιώνονται πιο αργά απ' όλες. Οι περισσότεροι αριθμοί έχουν παρονομαστές που αυξάνονται πολύ πιο γρήγορα, με ρυθμό e^β.

Growth rates of convergent denominators compared

Comparison of denominator growth rates for golden ratio versus typical number
φ = [1;1,1,1,…]	Typical number
qₙ grows as φⁿ ≈ 1.618ⁿ	qₙ grows as (e^β)ⁿ ≈ 3.276ⁿ
Slowest possible growth	Lévy's theorem

Η τιμή β = π²/(12 ln 2) προκύπτει από την ολοκλήρωση της κατανομής Gauss-Kuzmin. Το ln 2 προέρχεται από την εργασία στη βάση 2 (δυαδικό), και το π² προκύπτει από τις ίδιες πηγές με το ζ(2) = π²/6. Η σταθερά του Lévy: 1.1865691104156254… e^β = 3.275822918721811159787681882…

Σταθερά του Khinchin → Συνεχή κλάσματα → Χρυσή τομή φ → Τετραγωνική ρίζα του 2 →

Continued fraction convergents of π: denominator growth

The partial quotient 292 at step 5 makes π's denominators grow much faster than average. For a "typical" number the ratio ln(qₙ)/n → β ≈ 1.187.
n	Partial quotient aₙ	Convergent pₙ/qₙ	Denominator qₙ	ln(qₙ)/n
1	3	3/1	1	0.00
2	7	22/7	7	0.97
3	15	333/106	106	1.55
4	1	355/113	113	1.19
5	292	103993/33102	33102	2.52
6	1	104348/33215	33215	1.74
7	1	208341/66317	66317	1.54

Σχετικά θέματα

Khinchin Συνεχή κλάσματα Φι

Βασικά στοιχεία για τη σταθερά του Lévy

Η σταθερά του Lévy beta = pi^2/(12 ln 2) ≈ 1.18657. Για σχεδόν κάθε πραγματικό αριθμό, ο ν-οστός παρονομαστής συγκλίνοντος qn ικανοποιεί qn^(1/n) → e^beta ≈ 3.27582. Αποδείχθηκε από τον Paul Lévy το 1935. Η χρυσή τομή, με παρονομαστές Fibonacci που αυξάνονται με ρυθμό phi ≈ 1.618, είναι πολύ κάτω από τον μέσο όρο, επιβεβαιώνοντάς την ως τον πιο δύσκολο αριθμό για προσέγγιση. Ο τύπος συνδυάζει το pi και το ln 2, συνδέοντας τη γεωμετρία του κύκλου με τους λογαρίθμους μέσω της κατανομής Gauss-Kuzmin.

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

–

⚙Engineering

–

🧬Biology

–

💻Computer Sci

–

📊Statistics

✓

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

Ποιος απέδειξε το θεώρημα του Lévy και πότε;

tap · space

1 / 10

Έτοιμοι να παίξετε;

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

Παίξτε τώρα - δωρεάν

Χωρίς λογαριασμό. Λειτουργεί σε κάθε συσκευή.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.