מהו המשפט היסודי של החשבון?
המשפט היסודי של החשבון מקשר בין שני רעיונות שנראים נפרדים. חלק 1: אם מבצעים אינטגרציה של פונקציה מנקודה קבועה עד x, הנגזרת של אינטגרל זה היא הפונקציה המקורית. חלק 2: האינטגרל המסוים של f מ-a עד b שווה לכל פונקציה קדומה F המוצבת ב-b פחות F ב-a.
∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 − 0 = 8/3 ≈ 2.667. The antiderivative F(x) = x³/3 gives the exact area without approximation.
לפני משפט זה, חישוב שטחים דרש סכומי רימן: חלוקת האזור למלבנים דקים, סיכומם וקבלת הגבול. המשפט היסודי מחליף את כל זה בחיסור אחד. ניוטון הבין זאת עד 1666 ולייבניץ באופן עצמאי עד 1675. המחלוקת ביניהם על הבכורה פילגה את המתמטיקה האירופית והבריטית למשך דור שלם.
כל אינטגרל הנלמד בקורסים בחשבון משתמש בחלק 2: מצא פונקציה קדומה, הצב בקצוות, חסר. זה עובד מכיוון שגזירה ואינטגרציה הן פעולות הפוכות מדויקות זו של זו. זו אחת התוצאות העמוקות והשימושיות ביותר בכל המתמטיקה.
A Riemann sum with 8 rectangles gives ≈ 0.273. The exact answer is 8/3 ≈ 2.667. The Fundamental Theorem gives exact results with no rectangles needed.
העבודה הנעשית על ידי כוח משתנה F(x) לאורך תזוזה מ-a עד b היא W = האינטגרל מ-a עד b של F(x) dx = P(b) - P(a), כאשר P היא פונקציית האנרגיה הפוטנציאלית המקיימת P' = -F. מהירות עוברת אינטגרציה לתזוזה; כוח עובר אינטגרציה לתנע. המשפט היסודי הוא שמאפשר את החישובים האלה במקום לדרוש סכומי רימן אינסופיים.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
שחקו עכשיו - בחינםללא חשבון. עובד בכל מכשיר.
