Christoffer De Geer 20 במרץ 2026

מהי מכפלת ווליס?

π/2 = ∏ 4n²/(4n²-1)

π = 2 · (2/1) · (2/3) · (4/3) · (4/5) · (6/5) · (6/7) ⋯ ווליס, 1655.

מכפלת ווליס כותבת את π/2 כמכפלה אינסופית של שברים פשוטים: (2/1) × (2/3) × (4/3) × (4/5) × (6/5) × (6/7) × ⋯ כל מספר זוגי מופיע פעמיים, פעם גדול ופעם קטן משכניו. הכפילו מספיק איברים והמכפלה מתכנסת ל-π/2 ≈ 1.5708.

Wallis partial products approaching π/2

Wallis product: (2/1)(2/3)(4/3)(4/5)(6/5)(6/7)... The partial products converge to π/2 ≈ 1.5708 from below, oscillating around the limit.

ג'ון ווליס גזר נוסחה זו ב-1655 מהאינטגרל ∫₀^(π/2) sinⁿ(x) dx, בהשוואת המקרים של n זוגי ואי-זוגי. מה שהופך אותה ליוצאת דופן הוא שהיא גוזרת את π מכפל טהור של מספרים רציונליים, ללא כל גאומטריה מעורבת. אותה מכפלה צומחת מזהות פונקציית הגמא: π = Γ(1/2)².

The Wallis product: alternating even fractions

π/2 = (2/1)·(2/3)·(4/3)·(4/5)·(6/5)·(6/7)·…

= Π_{n=1}^∞ (4n²)/(4n²−1)

Wallis derived this in 1655 by comparing integrals of powers of sin(x). It was the first product formula for π.

מכפלת ווליס מתכנסת לאט מאוד: לאחר n זוגות השגיאה היא מסדר 1/(4n). יש לה חשיבות תאורטית עצומה כאחת המכפלות האינסופיות הראשונות שנחקרו אי פעם, ושפתחה את הדרך לניתוח sin(x) = x∏(1 - x²/n²π²) ולכל תורת המכפלות האינסופיות באנליזה מרוכבת.

פאי (π) → האינטגרל הגאוסי → בעיית בזל → טור טיילור → המשפט היסודי של החשבון →

Integrals of sin^n(x) from 0 to π/2: even/odd pattern produces Wallis

Even n: I(n) = (π/2)·(1/2)·(3/4)·(5/6)…(n−1)/n. Odd n: I(n) = 1·(2/3)·(4/5)…(n−1)/n. The ratio of adjacent integrals I(2n)/I(2n+1) → 1, giving the Wallis product.

נושאים קשורים

פאי המשפט היסודי של החשבון טור טיילור

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

✓

⚙Engineering

–

🧬Biology

–

💻Computer Sci

–

📊Statistics

✓

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

מה האיבר הכללי של מכפלת ואליס?

tap · space

1 / 10

מוכנים לשחק?

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

שחקו עכשיו - בחינם

ללא חשבון. עובד בכל מכשיר.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.