Christoffer De Geer 20 במרץ 2026

מהו הקבוע של אוילר-מסקרוני (γ)?

γ = lim (1 + 1/2 + ⋯ + 1/n) - ln(n)

γ ≈ 0.57721566490153286060. חושב עד 600 מיליארד ספרות. אי-רציונליות לא ידועה.

הטור ההרמוני 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ מתבדר, אך הוא גדל לאט להפליא. אחרי מיליון איברים הוא בקושי מגיע ל-14. הלוגריתם הטבעי ln(n) גדל באותו קצב. הקבוע של אוילר-מסקרוני γ הוא הפער המדויק ביניהם: γ = lim (1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ + 1/n) - ln(n).

H(n) − ln(n) converges to the Euler-Mascheroni constant γ

The difference between the harmonic sum and ln(n) approaches γ ≈ 0.5772 as n → ∞. Convergence is very slow – the gap is still 0.001 at n = 1000.

γ מופיע בכל רחבי האנליזה ותורת המספרים. הוא מקשר את הטור ההרמוני לפונקציית הזטא של רימן: γ = -ζ'(1) במובן פורמלי. הוא מופיע בפונקציית הגמא Γ'(1) = -γ, בהתפלגות פערי הראשוניים, בפונקציות בסל, ובפיתוח האסימפטוטי של פונקציית הדיגמא.

Key facts about γ

γ = lim(n→∞) [H(n) − ln(n)] ≈ 0.5772156649…

γ = −Γ'(1) = −∫₀^∞ e⁻ˣ ln(x) dx

Whether γ is irrational is unknown – one of the oldest open problems in mathematics.

השאלה האם γ רציונלי או אי-רציונלי היא אחת הבעיות הפתוחות הוותיקות ביותר במתמטיקה. כמעט כל מתמטיקאי מאמין שהוא טרנסצנדנטי, אך אין הוכחה. הוא חושב עד למעלה מ-600 מיליארד ספרות עשרוניות: 0.57721566490153286060651209008240243…

הטור ההרמוני → הקבוע של מייסל-מרטנס → פונקציית הזטא של רימן → הקירוב של סטירלינג →

Harmonic staircase H(n) versus smooth ln(n) + γ

The harmonic partial sums H(n) (red, stepped) versus ln(n)+γ (blue, smooth). The gap between them approaches 0 but oscillates: H(n)−ln(n) → γ.

עובדות מפתח על הקבוע של אוילר-מסקרוני γ

הקבוע של אוילר-מסקרוני גמא הוא בקירוב 0.57721566490153286060. האם הוא רציונלי או אי-רציונלי אינו ידוע, אחת הבעיות הפתוחות המפורסמות ביותר במתמטיקה. אוילר פרסם אותו לראשונה ב-1734; מסקרוני חישב אותו באופן עצמאי ב-1790. גמא מופיע בפונקציית הגמא, בפונקציית הזטא של רימן, במשפט מרטנס על מכפלות ראשוניים, בפונקציות בסל ובהתפלגות פערי הראשוניים. מכיוון שאין אלגוריתם זרימה, ספרותיו מחושבות מראש ונשמרות.

נושאים קשורים

הטור ההרמוני מייסל מרטנס זטא של רימן

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

✓

⚙Engineering

–

🧬Biology

–

💻Computer Sci

✓

📊Statistics

–

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

האם גמא רציונלי או אי-רציונלי?

tap · space

1 / 10

עיין בספרות של הקבוע של אוילר-מסקרוני γ

γ has no final digit

הקבוע של אוילר-מסקרוני γ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the גבול הרמוני-לוגריתמי.

γ = lim(n→∞) (1 + 1/2 + ... + 1/n − ln n)

מוכנים לשחק?

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

שחקו עכשיו - בחינם

ללא חשבון. עובד בכל מכשיר.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.