Christoffer De Geer 20 березня 2026 р.

Що таке основна теорема аналізу?

∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) - F(a)

де F'(x) = f(x). Найкорисніший результат у математичному аналізі.

Основна теорема аналізу пов'язує дві, на перший погляд, окремі ідеї. Частина 1: якщо ви інтегруєте функцію від фіксованої точки до x, то похідна цього інтеграла є початковою функцією. Частина 2: визначений інтеграл f від a до b дорівнює будь-якій первісній F, обчисленій у точці b, мінус F у точці a.

Area under x² from 0 to 2: antiderivative gives exact answer

∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 − 0 = 8/3 ≈ 2.667. The antiderivative F(x) = x³/3 gives the exact area without approximation.

До цієї теореми обчислення площ потребувало сум Рімана: поділ області на тонкі прямокутники, підсумовування всіх їх та взяття границі. Основна теорема аналізу замінює все це одним відніманням. Ньютон зрозумів це до 1666 року, а Лейбніц незалежно до 1675 року. Їхня суперечка про першість розколола європейську та британську математику на ціле покоління.

The two parts of the Fundamental Theorem of Calculus

Part 1: d/dx [∫ₐˣ f(t)dt] = f(x)

Part 2: ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a) where F'(x) = f(x)

Part 1 says differentiation undoes integration. Part 2 says to evaluate an integral, find an antiderivative and subtract the endpoints.

Кожен інтеграл, якого навчають на курсах аналізу, використовує Частину 2: знайди первісну, обчисли в кінцевих точках, відніми. Це працює, бо диференціювання та інтегрування є точними оберненими одне до одного. Це один із найглибших і найкорисніших результатів у всій математиці.

Ряд Тейлора → Інтеграл Гаусса → Добуток Валліса → Гармонічний ряд →

Riemann sum approximating area: FTC replaces this with one calculation

A Riemann sum with 8 rectangles gives ≈ 0.273. The exact answer is 8/3 ≈ 2.667. The Fundamental Theorem gives exact results with no rectangles needed.

Застосування у фізиці

Робота, яку виконує змінна сила F(x) на переміщенні від a до b, дорівнює W = інтеграл від a до b від F(x) dx = P(b) - P(a), де P - функція потенціальної енергії, що задовольняє P' = -F. Швидкість інтегрується в переміщення; сила інтегрується в імпульс. Основна теорема аналізу - це те, що робить ці обчислення розв'язними, замість того щоб вимагати нескінченних сум Рімана.

Пов'язані теми

E Ряд Тейлора Інтеграл Гаусса

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

✓

⚙Engineering

✓

🧬Biology

✓

💻Computer Sci

✓

📊Statistics

–

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

Сформулюйте частину 1 Основної теореми.

tap · space

1 / 10

Готові грати?

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

Грати зараз - безкоштовно

Без реєстрації. Працює на будь-якому пристрої.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.