Christoffer De Geer 20 березня 2026 р.

Що таке e (число Ейлера)?

e = lim(1 + 1/n)ⁿ ≈ 2.71828…

e ≈ 2.71828182845904523536. Ірраціональне та трансцендентне.

e - це єдине число, для якого функція eˣ є власною похідною. Почніть із будь-якої величини і дайте їй зростати неперервно з темпом 100% на рік. Рівно через рік ви матимете в e разів більше, ніж починали. Жодна інша основа не має цієї самовідносної властивості.

Граничне означення: (1 + 1/n)ⁿ → e

Зі зростанням n послідовність наближається до e знизу, збігаючись до 2.71828182845904…

The limit definition: (1 + 1/n)ⁿ → e

Table showing (1+1/n)^n converging to e
n	(1 + 1/n)ⁿ	distance to e
1	2.000000	0.71828
10	2.593742	0.12454
100	2.704814	0.01347
1 000	2.716924	0.00136
1 000 000	2.718281	0.0000014
∞	2.71828…	0

Інтерпретація через складні відсотки: якщо банк платить 100% річних, але нараховує їх n разів на рік, ваш баланс зростає на (1 + 1/n)ⁿ. Щомісячне нарахування дає 2.613. Нарахування щосекунди дає 2.718. Неперервне нарахування дає точно e.

e^x: the only function that is its own derivative

At x=1, the height of the curve is e ≈ 2.718 and the slope of the tangent is also e. No other base b^x has this property.

Якоб Бернуллі відкрив e 1683 року, вивчаючи складні відсотки. Ейлер назвав його e 1731 року. Воно ірраціональне (Ейлер, 1737) і трансцендентне (Ерміт, 1873). Його десятковий запис 2.71828182845904523536… ніколи не повторюється.

Тотожність Ейлера → Натуральний логарифм 2 → Ряд Тейлора → Наближення Стірлінга → Ланцюгові дроби → Мейджор-система →

Compound interest converges to e as compounding increases

Starting with $1 at 100% annual interest: compounding monthly gives $2.613, daily $2.714, every second $2.718. The limit as n→∞ is exactly e.

Ключові факти про число Ейлера e

e (число Ейлера) приблизно дорівнює 2.71828182845904523536. Це єдине число, для якого функція e^x дорівнює власній похідній у кожній точці. Якоб Бернуллі відкрив його 1683 року, вивчаючи складні відсотки. Леонард Ейлер назвав його e близько 1731 року. e ірраціональне (Ейлер, 1737) і трансцендентне (Ерміт, 1873). Воно з'являється в неперервному зростанні та спаді, натуральних логарифмах, нормальному розподілі, складних відсотках, радіоактивному розпаді та тотожності Ейлера e^(i*pi) + 1 = 0.

Пов'язані теми

Тотожність Ейлера Ln2 Ряд Тейлора

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

✓

⚙Engineering

✓

🧬Biology

✓

💻Computer Sci

✓

📊Statistics

✓

📈Finance

✓

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

✓

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

Яка формула ряду для e?

tap · space

1 / 10

Згенерувати цифри числа Ейлера e

e has no final digit

Число Ейлера e is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the ряд тейлора.

e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ...

Готові грати?

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

Грати зараз - безкоштовно

Без реєстрації. Працює на будь-якому пристрої.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.