Christoffer De Geer 20 березня 2026 р.

Що таке стала Ейлера-Маскероні (γ)?

γ = lim (1 + 1/2 + ⋯ + 1/n) - ln(n)

γ ≈ 0.57721566490153286060. Обчислено до 600 мільярдів цифр. Ірраціональність невідома.

Гармонічний ряд 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ розбігається, але зростає неймовірно повільно. Після мільйона членів він ледве сягає 14. Натуральний логарифм ln(n) зростає з тим самим темпом. Стала Ейлера-Маскероні γ - це точна різниця між ними: γ = lim (1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ + 1/n) - ln(n).

H(n) − ln(n) converges to the Euler-Mascheroni constant γ

The difference between the harmonic sum and ln(n) approaches γ ≈ 0.5772 as n → ∞. Convergence is very slow – the gap is still 0.001 at n = 1000.

γ з'являється всюди в аналізі та теорії чисел. Вона пов'язує гармонічний ряд із дзета-функцією Рімана: γ = -ζ'(1) у формальному сенсі. Вона з'являється в гамма-функції Γ'(1) = -γ, у розподілі проміжків між простими числами, у функціях Бесселя та в асимптотичному розкладі дигамма-функції.

Key facts about γ

γ = lim(n→∞) [H(n) − ln(n)] ≈ 0.5772156649…

γ = −Γ'(1) = −∫₀^∞ e⁻ˣ ln(x) dx

Whether γ is irrational is unknown – one of the oldest open problems in mathematics.

Чи раціональна, чи ірраціональна γ - одна з найстаріших відкритих проблем у математиці. Майже кожен математик вважає, що вона трансцендентна, але доведення не існує. Її обчислено до понад 600 мільярдів десяткових знаків: 0.57721566490153286060651209008240243…

Гармонічний ряд → Стала Мейселя-Мертенса → Дзета-функція Рімана → Наближення Стірлінга →

Harmonic staircase H(n) versus smooth ln(n) + γ

The harmonic partial sums H(n) (red, stepped) versus ln(n)+γ (blue, smooth). The gap between them approaches 0 but oscillates: H(n)−ln(n) → γ.

Ключові факти про сталу Ейлера-Маскероні γ

Стала Ейлера-Маскероні gamma приблизно дорівнює 0.57721566490153286060. Чи раціональна, чи ірраціональна вона, невідомо - одна з найвідоміших відкритих проблем у математиці. Ейлер уперше опублікував її 1734 року; Маскероні обчислив її незалежно 1790 року. Gamma з'являється в гамма-функції, дзета-функції Рімана, теоремі Мертенса про добутки простих чисел, функціях Бесселя та розподілі проміжків між простими числами. Оскільки потокового алгоритму не існує, її цифри попередньо обчислюють і зберігають.

Пов'язані теми

Гармонічний ряд Мейсель-Мертенс Дзета Рімана

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

✓

⚙Engineering

–

🧬Biology

–

💻Computer Sci

✓

📊Statistics

–

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

How is gamma defined using the harmonic series?

tap · space

1 / 10

Переглянути цифри сталої Ейлера-Маскероні γ

γ has no final digit

Стала Ейлера-Маскероні γ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the границя гармоніка-логарифм.

γ = lim(n→∞) (1 + 1/2 + ... + 1/n − ln n)

Готові грати?

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

Грати зараз - безкоштовно

Без реєстрації. Працює на будь-якому пристрої.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.