Christoffer De Geer 21 березня 2026 р.

Гармонічний ряд

H = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... = нескінченність

розбігається, але повільніше за будь-який інший розбіжний ряд

Гармонічний ряд - це сума всіх часток виду одиниця поділена на число. Кожен член 1/n прямує до нуля, що могло б наводити на думку, що сума збігається, але це не так. Доведення використовує групування: 1/3+1/4 > 1/2, потім 1/5+1/6+1/7+1/8 > 1/2, і кожна така група додає щонайменше 1/2, тож сума перевищує будь-яку межу. Проте він розбігається з надзвичайною повільністю: щоб досягти часткової суми 100, потрібно більше членів, ніж атомів у спостережному Всесвіті.

Oresme's proof: grouping shows divergence

1 + 1/2 + (1/3+1/4) + (1/5+…+1/8) + …

Each group ≥ 1/2: 1/3+1/4 > 2×1/4 = 1/2 and 1/5+…+1/8 > 4×1/8 = 1/2

We can always add another group ≥ 1/2, so the total grows without bound. QED (Oresme ~1360)

H(n) grows like ln(n) plus γ

H(n) and ln(n) grow together, always differing by approximately γ ≈ 0.5772. Both diverge: to reach H(n) = 100 requires about 10^43 terms.

How absurdly slow: milestones for H(n) exceeding round numbers

~10^43 terms are needed to reach H(n)=100. More than atoms in the observable universe.

Стала Ейлера-Маскероні → Дзета-функція Рімана → Стала Мейселя-Мертенса → Базельська задача → Натуральний логарифм 2 →

Пов'язані теми

Гамма Мейсель-Мертенс Дзета Рімана

Ключові факти про гармонічний ряд

Гармонічний ряд 1 + 1/2 + 1/3 + ... розбігається, що довів Нікола Орезм близько 1350 року. Попри те, що кожен член прямує до нуля, сума перевищує будь-яку межу. Часткові суми зростають як ln(n) + gamma, де gamma ≈ 0.5772 - стала Ейлера-Маскероні. Після мільйона членів сума становить лише близько 14. Щоб досягти 100, потрібно понад 10^43 членів. Знакозмінний ряд 1 - 1/2 + 1/3 - ... збігається до ln 2.

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

✓

⚙Engineering

–

🧬Biology

–

💻Computer Sci

✓

📊Statistics

–

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

✓

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

Що таке гармонічне середнє?

tap · space

1 / 10

Готові грати?

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

Грати зараз - безкоштовно

Без реєстрації. Працює на будь-якому пристрої.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.