√2(제곱근 2)란 무엇인가?
√2는 단위 정사각형 대각선의 길이다. 한 변의 길이가 1인 정사각형을 놓으면, 한 꼭짓점에서 맞은편 꼭짓점까지의 거리가 정확히 √2다. 이것이 피타고라스 정리다: 1² + 1² = (√2)².
피타고라스 학파는 기원전 500년경 √2를 정수 p, q의 분수 p/q로 나타낼 수 없음을 발견했다. 귀류법 증명은 우아하다: √2 = p/q가 기약분수라고 가정하자. 그러면 2q² = p²이므로 p²은 짝수이고, 따라서 p도 짝수다. p = 2k로 쓰면 2q² = 4k², 즉 q² = 2k²이므로 q도 짝수다. 이는 p/q가 기약분수라는 가정에 모순된다. 따라서 √2는 무리수다.
연분수 [1; 2, 2, 2, …]의 수렴분수. 각 분수는 해당 분모에서 가장 정확한 유리수 근사다.
| fraction | decimal | error |
|---|---|---|
| 1/1 | 1.000 | 0.41421 |
| 3/2 | 1.500 | 0.08579 |
| 7/5 | 1.400 | 0.01421 |
| 17/12 | 1.41667 | 0.00246 |
| 99/70 | 1.41429 | 0.0000849 |
√2는 대수적 수(x² = 2를 만족)이지만 무리수다. 삼각함수에서 sin(45°) = cos(45°) = 1/√2이다. A 용지 규격(A4, A3, A2…)은 1:√2 비율을 사용하여, 반으로 접어도 같은 비율이 유지된다. 정밀값: 1.41421356237309504880168872…
각 직각삼각형은 한 변이 이전 빗변과 같고 한 변이 1이다. 빗변은 √1, √2, √3, √4, √5… 대부분이 무리수다. √2(빨간색)는 기원전 500년경 피타고라스 학파가 처음으로 무리수임을 증명했다.
√2는 약 1.41421356237309504880이다. 기원전 500년경 고대 그리스인이 최초로 무리수임을 증명한 수다. x² = 2를 만족하는 대수적 수이며, 단위 정사각형의 대각선 길이, 평균율 음악 조율(반음마다 주파수에 2의 12제곱근을 곱함), A 용지 규격(A4를 접으면 A5, 같은 비율), 두 변이 같은 직각삼각형의 피타고라스 정리에 나타난다.
Square Root of 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the continued fraction.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
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