Τι είναι το √2 (τετραγωνική ρίζα του 2);
Το √2 είναι το μήκος της διαγωνίου ενός μοναδιαίου τετραγώνου. Τοποθετήστε ένα τετράγωνο με πλευρές μήκους 1 σε ένα τραπέζι. Η απόσταση από τη μία γωνία στην απέναντι γωνία είναι ακριβώς √2. Αυτό είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα: 1² + 1² = (√2)².
Οι Πυθαγόρειοι ανακάλυψαν γύρω στο 500 π.Χ. ότι το √2 δεν μπορεί να εκφραστεί ως κλάσμα p/q όπου τα p και q είναι ακέραιοι. Η απόδειξη με απαγωγή σε άτοπο είναι κομψή: υποθέστε √2 = p/q σε ανάγωγη μορφή. Τότε 2q² = p², οπότε το p² είναι άρτιο, οπότε το p είναι άρτιο, γράψτε p = 2k. Τότε 2q² = 4k², οπότε q² = 2k², οπότε και το q είναι άρτιο. Αυτό αντιφάσκει με το ότι το p/q είναι σε ανάγωγη μορφή. Το √2 είναι άρρητο.
Συγκλίνοντες από το συνεχές κλάσμα [1; 2, 2, 2, …]. Κάθε κλάσμα είναι η καλύτερη ρητή προσέγγιση με αυτόν τον παρονομαστή.
| fraction | decimal | error |
|---|---|---|
| 1/1 | 1.000 | 0.41421 |
| 3/2 | 1.500 | 0.08579 |
| 7/5 | 1.400 | 0.01421 |
| 17/12 | 1.41667 | 0.00246 |
| 99/70 | 1.41429 | 0.0000849 |
Το √2 είναι αλγεβρικό (ικανοποιεί την x² = 2) αλλά άρρητο. Στην τριγωνομετρία: sin(45°) = cos(45°) = 1/√2. Η σειρά χαρτιού A (A4, A3, A2…) χρησιμοποιεί τον λόγο 1:√2, ώστε διπλώνοντας ένα φύλλο στη μέση να δίνει τις ίδιες αναλογίες. Υπολογισμένο σε πλήρη ακρίβεια: 1.41421356237309504880168872…
Each right triangle has one leg equal to the previous hypotenuse and one leg equal to 1. The hypotenuses are √1, √2, √3, √4, √5… Most are irrational. √2 (red) was the first proved irrational, by the Pythagoreans around 500 BC.
Η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι περίπου 1.41421356237309504880. Ήταν ο πρώτος αριθμός που αποδείχθηκε ποτέ άρρητος, από τους αρχαίους Έλληνες γύρω στο 500 π.Χ. Είναι αλγεβρική, ικανοποιώντας την x² = 2. Εμφανίζεται ως το μήκος της διαγωνίου ενός μοναδιαίου τετραγώνου, στο ισοσυγκερασμένο κούρδισμα της μουσικής (κάθε ημιτόνιο πολλαπλασιάζει τη συχνότητα επί την 12η ρίζα του 2), στις διαστάσεις χαρτιού της σειράς A (το A4 διπλωμένο δίνει A5, ίδιες αναλογίες), και στο Πυθαγόρειο θεώρημα όποτε οι κάθετες πλευρές είναι ίσες.
Τετραγωνική ρίζα του 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the συνεχές κλάσμα.
Pi
Απομνημονεύστε το π, το e και 38 μαθηματικές σταθερές με τη μέθοδο διαδρομής στο αριθμητικό πληκτρολόγιο
Παίξτε τώρα - δωρεάνΧωρίς λογαριασμό. Λειτουργεί σε κάθε συσκευή.