Τι είναι το √2 (τετραγωνική ρίζα του 2);
Το √2 είναι το μήκος της διαγωνίου ενός μοναδιαίου τετραγώνου. Τοποθετήστε ένα τετράγωνο με πλευρές μήκους 1 σε ένα τραπέζι. Η απόσταση από τη μία γωνία στην απέναντι γωνία είναι ακριβώς √2. Αυτό είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα: 1² + 1² = (√2)².
Οι Πυθαγόρειοι ανακάλυψαν γύρω στο 500 π.Χ. ότι το √2 δεν μπορεί να εκφραστεί ως κλάσμα p/q όπου τα p και q είναι ακέραιοι. Η απόδειξη με απαγωγή σε άτοπο είναι κομψή: υποθέστε √2 = p/q σε ανάγωγη μορφή. Τότε 2q² = p², οπότε το p² είναι άρτιο, οπότε το p είναι άρτιο, γράψτε p = 2k. Τότε 2q² = 4k², οπότε q² = 2k², οπότε και το q είναι άρτιο. Αυτό αντιφάσκει με το ότι το p/q είναι σε ανάγωγη μορφή. Το √2 είναι άρρητο.
Συγκλίνοντες από το συνεχές κλάσμα [1; 2, 2, 2, …]. Κάθε κλάσμα είναι η καλύτερη ρητή προσέγγιση με αυτόν τον παρονομαστή.
| fraction | decimal | error |
|---|---|---|
| 1/1 | 1.000 | 0.41421 |
| 3/2 | 1.500 | 0.08579 |
| 7/5 | 1.400 | 0.01421 |
| 17/12 | 1.41667 | 0.00246 |
| 99/70 | 1.41429 | 0.0000849 |
Το √2 είναι αλγεβρικό (ικανοποιεί την x² = 2) αλλά άρρητο. Στην τριγωνομετρία: sin(45°) = cos(45°) = 1/√2. Η σειρά χαρτιού A (A4, A3, A2…) χρησιμοποιεί τον λόγο 1:√2, ώστε διπλώνοντας ένα φύλλο στη μέση να δίνει τις ίδιες αναλογίες. Υπολογισμένο σε πλήρη ακρίβεια: 1.41421356237309504880168872…
Each right triangle has one leg equal to the previous hypotenuse and one leg equal to 1. The hypotenuses are √1, √2, √3, √4, √5… Most are irrational. √2 (red) was the first proved irrational, by the Pythagoreans around 500 BC.
Η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι περίπου 1.41421356237309504880. Ήταν ο πρώτος αριθμός που αποδείχθηκε ποτέ άρρητος, από τους αρχαίους Έλληνες γύρω στο 500 π.Χ. Είναι αλγεβρική, ικανοποιώντας την x² = 2. Εμφανίζεται ως το μήκος της διαγωνίου ενός μοναδιαίου τετραγώνου, στο ισοσυγκερασμένο κούρδισμα της μουσικής (κάθε ημιτόνιο πολλαπλασιάζει τη συχνότητα επί την 12η ρίζα του 2), στις διαστάσεις χαρτιού της σειράς A (το A4 διπλωμένο δίνει A5, ίδιες αναλογίες), και στο Πυθαγόρειο θεώρημα όποτε οι κάθετες πλευρές είναι ίσες.
Τετραγωνική ρίζα του 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the συνεχές κλάσμα.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Παίξτε τώρα - δωρεάνΧωρίς λογαριασμό. Λειτουργεί σε κάθε συσκευή.
