Что такое √2, корень из 2?
√2 – это длина диагонали единичного квадрата. Если положить квадрат со стороной 1 на стол, то расстояние от одного угла до противоположного будет ровно √2. Это напрямую следует из теоремы Пифагора: 1² + 1² = (√2)².
Пифагорейцы около 500 года до н. э. обнаружили, что √2 нельзя записать в виде дроби p/q целых чисел p и q. Доказательство от противного элегантно: предположим, что √2 = p/q в несократимом виде. Тогда 2q² = p², значит p² чётно, а значит p само чётно, то есть p = 2k. Тогда 2q² = 4k² и q² = 2k², следовательно, q тоже чётно. Это противоречит несократимости дроби p/q. Значит, √2 иррационально.
Подходящие дроби цепной дроби [1; 2, 2, 2, …]. Каждая из них – лучшее рациональное приближение с данным знаменателем.
| Дробь | Десятичное число | Ошибка |
|---|---|---|
| 1/1 | 1,000 | 0,41421 |
| 3/2 | 1,500 | 0,08579 |
| 7/5 | 1,400 | 0,01421 |
| 17/12 | 1,41667 | 0,00246 |
| 99/70 | 1,41429 | 0,0000849 |
√2 алгебраично, потому что удовлетворяет уравнению x² = 2, но при этом иррационально. В тригонометрии sin(45°) = cos(45°) = 1/√2. Серия бумаги A – то есть A4, A3, A2 и так далее – использует отношение 1:√2, чтобы при делении пополам сохранялись те же пропорции. Полное значение: 1,41421356237309504880168872…
Каждый прямоугольный треугольник имеет один катет, равный предыдущей гипотенузе, и другой катет, равный 1. Гипотенузы равны √1, √2, √3, √4, √5… Большинство из них иррациональны. √2, отмеченное красным, было первым числом, чья иррациональность была доказана пифагорейцами около 500 года до н. э.
Корень из 2 приблизительно равен 1,41421356237309504880. Это было первое число, для которого вообще доказали иррациональность – ещё древние греки около 500 года до н. э. Оно алгебраично и удовлетворяет уравнению x² = 2. Оно появляется как диагональ единичного квадрата, в равномерно темперированном строе музыки, где каждый полутон умножает частоту на двенадцатый корень из 2, в форматах серии бумаги A и везде, где в теореме Пифагора катеты имеют одинаковую длину.
Square Root of 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the continued fraction.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Играть сейчас - бесплатноБез регистрации. Работает на любом устройстве.
