ما هو √2 (الجذر التربيعي لـ 2)؟
√2 هو طول قطر المربع الواحدي. ضع مربعًا طول ضلعه 1 على طاولة. المسافة من زاوية إلى الزاوية المقابلة هي بالضبط √2. هذه هي نظرية فيثاغورس: 1² + 1² = (√2)².
اكتشف الفيثاغوريون حوالي 500 ق.م أن √2 لا يمكن التعبير عنه ككسر p/q حيث p وq أعداد صحيحة. البرهان بالخُلف أنيق: افترض أن √2 = p/q في أبسط صورة. إذن 2q² = p²، فيكون p² زوجيًا، فيكون p زوجيًا، نكتب p = 2k. إذن 2q² = 4k²، فيكون q² = 2k²، فيكون q زوجيًا أيضًا. وهذا يناقض كون p/q في أبسط صورة. إذن √2 عدد غير نسبي.
المقرّبات من الكسر المستمر [1; 2, 2, 2, …]. كل كسر هو أفضل تقريب نسبي بذلك المقام.
| fraction | decimal | error |
|---|---|---|
| 1/1 | 1.000 | 0.41421 |
| 3/2 | 1.500 | 0.08579 |
| 7/5 | 1.400 | 0.01421 |
| 17/12 | 1.41667 | 0.00246 |
| 99/70 | 1.41429 | 0.0000849 |
√2 عدد جبري (يحقق x² = 2) لكنه غير نسبي. في حساب المثلثات: sin(45°) = cos(45°) = 1/√2. تستخدم سلسلة ورق A (A4, A3, A2…) النسبة 1:√2، بحيث يعطي طي الورقة إلى النصف نفس النسب. القيمة الدقيقة: 1.41421356237309504880168872…
كل مثلث قائم ساقه الأول يساوي وتر المثلث السابق وساقه الثاني يساوي 1. الأوتار هي √1, √2, √3, √4, √5… معظمها غير نسبي. √2 (الأحمر) كان أول عدد أُثبتت لاعقلانيته، على يد الفيثاغوريين حوالي 500 ق.م.
الجذر التربيعي لـ 2 يساوي تقريبًا 1.41421356237309504880. كان أول عدد أُثبتت لاعقلانيته على الإطلاق، على يد الإغريق القدماء حوالي 500 ق.م. وهو جبري يحقق x² = 2. يظهر كطول قطر المربع الواحدي، وفي ضبط الموسيقى المعتدل (كل نصف نغمة يضرب التردد بالجذر الثاني عشر لـ 2)، وفي أبعاد ورق سلسلة A (طي A4 يعطي A5 بنفس النسب)، وفي نظرية فيثاغورس عندما يكون الساقان متساويين.
Square Root of 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the continued fraction.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
العب الآن - مجاناًلا حاجة لحساب. يعمل على أي جهاز.
