오일러의 항등식이란 무엇인가?
오일러 항등식은 오일러 공식에서 유도됩니다: eix = cos(x) + i·sin(x). x = π를 대입하면 eiπ = cos(π) + i·sin(π) = −1이므로 eiπ + 1 = 0입니다.
eiθ는 단위원을 그립니다. π만큼 회전하면 −1에 도달합니다. 1을 더하면 0이 됩니다.
산술(0과 1), 대수(i), 기하학(π), 해석학(e) - 수학의 네 가지 서로 다른 분야를 - 놀라울 정도로 간결한 하나의 방정식으로 연결합니다. Richard Feynman은 이를 “수학에서 가장 놀라운 공식”이라고 불렀습니다.
Leonhard Euler(1707–1783)는 Introductio in analysin infinitorum(1748)에서 eix = cos(x) + i·sin(x) 공식을 발표했습니다. 이 항등식은 x = π일 때의 특수한 경우입니다. Euler는 e, i, f(x), Σ, π 표기법을 도입하거나 대중화했습니다.
eˣ의 테일러 급수에서 실수항은 cos(π), 허수항은 i·sin(π)로 묶인다. cos(π) = −1, sin(π) = 0 이므로 e^(iπ) = −1, 따라서 e^(iπ) + 1 = 0 이 된다.
공식 e^(iθ)는 θ가 증가할수록 복소평면 위의 단위원을 따라 움직인다. e^(iπ)는 1에서 정확히 π 라디안(180도)만큼 회전하여 -1에 도달하는 것이다. 여기에 1을 더하면 다시 0이 된다. 그래서 e^(iπ) + 1 = 0 은 복소평면의 반 바퀴 회전을 방정식으로 표현한 것이다.
e^(iθ)는 회전 연산자다. θ=π이면 정확히 반 바퀴 회전한 것이다. 실수축 위의 점 1은 -1로 이동한다. 양변에 1을 더하면 e^(iπ) + 1 = 0 이 된다.
오일러의 항등식 e^(iπ) + 1 = 0 은 수학의 가장 중요한 다섯 상수 e(자연로그의 밑), i(허수 단위), π(원주율), 1(곱셈 항등원), 0(덧셈 항등원)을 하나의 식으로 결합한다. 이 식은 오일러 공식 e^(iθ) = cos(θ) + i sin(θ)에 θ = π를 대입하면 바로 나온다. cos(π) = -1, sin(π) = 0 이므로 e^(iπ) = -1 이다. 1748년경 오일러가 발표했으며, 여러 설문에서 수학에서 가장 아름다운 방정식으로 뽑혔다.
Pi
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