Christoffer De Geer 20 Maret 2026

Apa itu Produk Wallis?

π/2 = ∏ 4n²/(4n²-1)

π = 2 · (2/1) · (2/3) · (4/3) · (4/5) · (6/5) · (6/7) ⋯ Wallis, 1655.

Produk Wallis menuliskan π/2 sebagai hasil kali tak hingga dari pecahan-pecahan sederhana: (2/1) × (2/3) × (4/3) × (4/5) × (6/5) × (6/7) × ⋯ Setiap bilangan genap muncul dua kali, sekali lebih besar dan sekali lebih kecil daripada tetangganya. Jika cukup banyak suku dikalikan, hasilnya konvergen ke π/2 ≈ 1,5708.

Wallis partial products approaching π/2

Wallis product: (2/1)(2/3)(4/3)(4/5)(6/5)(6/7)... The partial products converge to π/2 ≈ 1.5708 from below, oscillating around the limit.

John Wallis menurunkan rumus ini pada 1655 dari integral ∫₀^(π/2) sinⁿ(x) dx, dengan membandingkan kasus n genap dan ganjil. Hal yang membuatnya menakjubkan adalah bahwa ia memperoleh π dari perkalian murni bilangan rasional, tanpa geometri sama sekali. Produk yang sama juga muncul dari identitas fungsi Gamma: π = Γ(1/2)².

The Wallis product: alternating even fractions

π/2 = (2/1)·(2/3)·(4/3)·(4/5)·(6/5)·(6/7)·…

= Π_{n=1}^∞ (4n²)/(4n²−1)

Wallis derived this in 1655 by comparing integrals of powers of sin(x). It was the first product formula for π.

Produk Wallis konvergen sangat lambat: setelah n pasangan, galatnya berorde 1/(4n). Meskipun demikian, ia sangat penting secara teoretis sebagai salah satu produk tak hingga pertama yang pernah dipelajari, membuka jalan menuju analisis sin(x) = x∏(1 - x²/n²π²) dan seluruh teori produk tak hingga dalam analisis kompleks.

Pi (π) → Gaussian Integral → Basel Problem → Taylor Series → Fundamental Theorem of Calculus →

Integrals of sin^n(x) from 0 to π/2: even/odd pattern produces Wallis

Even n: I(n) = (π/2)·(1/2)·(3/4)·(5/6)…(n−1)/n. Odd n: I(n) = 1·(2/3)·(4/5)…(n−1)/n. The ratio of adjacent integrals I(2n)/I(2n+1) → 1, giving the Wallis product.

Topik terkait

Pi Teorema Dasar Kalkulus Deret Taylor

Digunakan dalam

∑Matematika

✓

⚛Fisika

✓

⚙Teknik

–

🧬Biologi

–

💻Ilmu Komputer

–

📊Statistika

✓

📈Keuangan

–

🎨Seni

–

🏛Arsitektur

–

♪Musik

–

🔐Kriptografi

–

🌌Astronomi

–

⚗Kimia

–

🦉Filsafat

–

🗺Geografi

–

🌿Ekologi

–

Ingin menguji pengetahuan Anda?

Pertanyaan

Tulis beberapa suku pertama perkalian Wallis.

ketuk · spasi

1 / 10

Siap bermain?

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

Main sekarang - gratis

Tanpa akun. Bisa di perangkat apa saja.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.