ウォリス積とは？
π/2 = ∏ 4n²/(4n²-1)
π = 2 · (2/1) · (2/3) · (4/3) · (4/5) · (6/5) · (6/7) ⋯。ウォリス、1655年。
ウォリス積は、π/2 を単純な分数の無限積として表す：(2/1) × (2/3) × (4/3) × (4/5) × (6/5) × (6/7) × ⋯。各偶数は 2 回現れ、一度は隣より大きく、一度は隣より小さく現れる。十分多くの項を掛け合わせると、その積は π/2 ≈ 1.5708 に収束する。
ウォリス積の部分積は π/2 に近づく
ウォリス積：(2/1)(2/3)(4/3)(4/5)(6/5)(6/7)...。部分積は下から π/2 ≈ 1.5708 に近づき、極限のまわりを振動しながら収束する。
ジョン・ウォリスは 1655 年、積分 ∫₀^(π/2) sinⁿ(x) dx の偶数 n と奇数 n の場合を比較することでこの公式を導いた。驚くべき点は、幾何を使わず、有理数の純粋な掛け算だけから π を得ていることである。同じ積は、ガンマ関数の恒等式 π = Γ(1/2)² からも現れる。
ウォリス積：交互に現れる偶数分数
π/2 = (2/1)·(2/3)·(4/3)·(4/5)·(6/5)·(6/7)·…
= Π_{n=1}^∞ (4n²)/(4n²−1)
Wallis derived this in 1655 by comparing integrals of powers of sin(x). It was the first product formula for π.
ウォリス積の収束は非常に遅く、n 組までの誤差は 1/(4n) のオーダーである。それでも理論的には非常に重要で、研究された最初期の無限積の一つとして、sin(x) = x∏(1 - x²/n²π²) の解析や、複素解析における無限積理論全体への道を開いた。
0 から π/2 までの sin^n(x) の積分：偶奇のパターンがウォリス積を生む
偶数 n では I(n) = (π/2)·(1/2)·(3/4)·(5/6)…(n−1)/n。奇数 n では I(n) = 1·(2/3)·(4/5)…(n−1)/n。隣り合う積分 I(2n)/I(2n+1) の比が 1 に近づくことで、ウォリス積が導かれる。
使用分野
数学
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物理学
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工学
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生物学
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計算機科学
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統計学
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金融
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芸術
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建築
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音楽
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暗号学
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天文学
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化学
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哲学
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地理学
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生態学
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