Η αρμονική σειρά
Η αρμονική σειρά είναι το άθροισμα όλων των κλασμάτων μονάδας. Κάθε όρος 1/n τείνει στο μηδέν, κάτι που θα μπορούσε να υποδηλώνει ότι το άθροισμα συγκλίνει, αλλά δεν συγκλίνει. Η απόδειξη χρησιμοποιεί ομαδοποίηση: 1/3+1/4 > 1/2, μετά 1/5+1/6+1/7+1/8 > 1/2, και κάθε τέτοια ομάδα προσθέτει τουλάχιστον 1/2, οπότε το σύνολο ξεπερνά οποιοδήποτε φράγμα. Κι όμως αποκλίνει με εξαιρετική βραδύτητα: για να φτάσει σε μερικό άθροισμα 100 χρειάζονται περισσότεροι όροι από τα άτομα στο παρατηρήσιμο σύμπαν.
H(n) and ln(n) grow together, always differing by approximately γ ≈ 0.5772. Both diverge: to reach H(n) = 100 requires about 10^43 terms.
~10^43 terms are needed to reach H(n)=100. More than atoms in the observable universe.
Η αρμονική σειρά 1 + 1/2 + 1/3 + ... αποκλίνει, όπως απέδειξε ο Nicole Oresme γύρω στο 1350. Παρότι κάθε όρος τείνει στο μηδέν, το άθροισμα ξεπερνά οποιοδήποτε φράγμα. Τα μερικά αθροίσματα αυξάνονται όπως ln(n) + gamma, όπου gamma ≈ 0.5772 είναι η σταθερά Euler-Mascheroni. Μετά από ένα εκατομμύριο όρους το άθροισμα είναι μόλις περίπου 14. Για να φτάσει το 100 χρειάζονται περισσότεροι από 10^43 όροι. Η εναλλάσσουσα σειρά 1 - 1/2 + 1/3 - ... συγκλίνει στο ln 2.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Παίξτε τώρα - δωρεάνΧωρίς λογαριασμό. Λειτουργεί σε κάθε συσκευή.
