Τι είναι η συνάρτηση ζήτα του Riemann;
Η συνάρτηση ζήτα του Riemann είναι ζ(s) = 1 + 1/2ˢ + 1/3ˢ + 1/4ˢ + ⋯ Ο Euler μελέτησε την πραγματική εκδοχή και βρήκε ζ(2) = π²/6 (το πρόβλημα της Βασιλείας) και τον τύπο γινομένου ζ(s) = ∏ 1/(1-p⁻ˢ) πάνω σε όλους τους πρώτους. Ο Riemann επέκτεινε τη συνάρτηση στους μιγαδικούς αριθμούς στην ορόσημη εργασία του το 1859.
| s | ζ(s) | exact form |
|---|---|---|
| 2 | 1.64493… | π²/6 |
| 3 | 1.20206… | unknown (Apéry) |
| 4 | 1.08232… | π⁴/90 |
| 6 | 1.01734… | π⁶/945 |
| -2,-4,… | 0 | trivial zeros |
Η βασική διαίσθηση του Riemann: επεκτείνοντας τη ζ(s) σε μιγαδικό s, τα μη τετριμμένα μηδενικά (όπου ζ(s) = 0 με 0 < Re(s) < 1) ελέγχουν την κατανομή των πρώτων αριθμών. Κάθε μηδενικό συνεισφέρει μια ταλάντωση στη συνάρτηση καταμέτρησης πρώτων. Ο Riemann εικασε το 1859 ότι όλα τα μη τετριμμένα μηδενικά βρίσκονται στην ευθεία Re(s) = 1/2. Αυτή είναι η υπόθεση του Riemann.
Πάνω από 10 τρισεκατομμύρια μη τετριμμένα μηδενικά έχουν επαληθευτεί ότι βρίσκονται στο Re(s) = 1/2. Κανένα αντιπαράδειγμα δεν έχει βρεθεί ποτέ. Το Ινστιτούτο Μαθηματικών Clay προσφέρει 1 εκατομμύριο δολάρια για μια απόδειξη (ή διάψευση). Μια απόδειξη θα έδινε το ακριβέστερο δυνατό φράγμα στα σφάλματα κατανομής των πρώτων. Η υπόθεση του Riemann παραμένει αναπόδεικτη εδώ και 165 χρόνια.
Η συνάρτηση ζήτα του Riemann ικανοποιεί μια συμμετρία: zeta(s) = 2^s * pi^(s-1) * sin(pi*s/2) * Gamma(1-s) * zeta(1-s). Αυτό επεκτείνει τη zeta σε όλους τους μιγαδικούς αριθμούς s (εκτός του s = 1) και συσχετίζει την τιμή στο s με την τιμή στο 1-s. Δείχνει ότι τα μη τετριμμένα μηδενικά έρχονται σε ζεύγη: αν το s είναι μηδενικό, τότε και το 1-s. Τα τετριμμένα μηδενικά στα s = -2, -4, -6, ... προκύπτουν από τον παράγοντα sin(pi*s/2).
Η συνάρτηση ζήτα του Riemann είναι zeta(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + ... Ο Euler την υπολόγισε στους άρτιους ακεραίους: zeta(2) = pi^2/6, zeta(4) = pi^4/90. Ο Riemann την επέκτεινε σε μιγαδικό s το 1859 και εικασε ότι όλα τα μη τετριμμένα μηδενικά βρίσκονται στο Re(s) = 1/2. Αυτή η υπόθεση του Riemann παραμένει αναπόδεικτη μετά από 165 χρόνια και είναι ένα πρόβλημα του Βραβείου Χιλιετίας Clay αξίας 1 εκατομμυρίου δολαρίων. Πάνω από 10 τρισεκατομμύρια μηδενικά έχουν επαληθευτεί στην κρίσιμη ευθεία. Τα μηδενικά ελέγχουν την κατανομή των πρώτων: κάθε μηδενικό συνεισφέρει μια ταλάντωση στη συνάρτηση καταμέτρησης πρώτων.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Παίξτε τώρα - δωρεάνΧωρίς λογαριασμό. Λειτουργεί σε κάθε συσκευή.
