Christoffer De Geer 21 березня 2026 р.

Модульна арифметика

17 = 5 (mod 12)

17 і 5 дають однакову остачу при діленні на 12

Модульна арифметика - це арифметика на колі. Два числа конгруентні за модулем n, якщо вони відрізняються на кратне n. Годинник виконує арифметику mod 12: через 10 годин після 5-ї буде 3, а не 15. Ця проста ідея лежить в основі всієї сучасної криптографії, геш-функцій, кодів з виправленням помилок та значної частини теорії чисел.

The mod 12 clock: addition wraps around

Fermat's Little Theorem verification

a^(p−1) ≡ 1 (mod p)  when p is prime, p∤a

Example p=5, a=2: 2⁴ = 16 = 3×5 + 1 ≡ 1 (mod 5) ✓

Example p=7, a=3: 3⁶ = 729 = 104×7 + 1 ≡ 1 (mod 7) ✓

Used in RSA encryption to prove decryption recovers the original message.

Addition table for ℤ/5ℤ (integers mod 5)

Every row and column contains {0,1,2,3,4} exactly once. The five elements form a closed group under addition mod 5. Red: sums that wrap around (≥5).
+	0	1	2	3	4
0	0	1	2	3	4
1	1	2	3	4	0
2	2	3	4	0	1
3	3	4	0	1	2
4	4	0	1	2	3

Прості числа → Системи числення → Досконалі числа → Теорема про чотири фарби →

Пов'язані теми

Прості числа Досконалі числа Системи числення

Ключові факти про модульну арифметику

Модульна арифметика означає конгруентність: a конгруентне b mod n, якщо n ділить a-b. Гаусс систематизував її 1801 року. Вона лежить в основі всієї сучасної криптографії з відкритим ключем: шифрування RSA спирається на малу теорему Ферма, яка стверджує, що a^(p-1) конгруентне 1 mod p для будь-якого простого p, що не ділить a. Геш-функції використовують модульні операції, щоб відображати великі входи у виходи фіксованого розміру. Цілі числа mod n утворюють повне кільце, а коли n просте - скінченне поле.

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

–

⚙Engineering

–

🧬Biology

–

💻Computer Sci

✓

📊Statistics

–

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

✓

🔐Cryptography

✓

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

Як RSA‑шифрування використовує модульну арифметику?

tap · space

1 / 10

Готові грати?

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

Грати зараз - безкоштовно

Без реєстрації. Працює на будь-якому пристрої.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.