Aritmetica modulare
L'aritmetica modulare è aritmetica su un cerchio. Due numeri sono congruenti modulo n se differiscono per un multiplo di n. Un orologio fa aritmetica mod 12: 10 ore dopo le 5 sono le 3, non le 15. Questa idea semplice sta alla base di tutta la crittografia moderna, delle funzioni hash, dei codici correttori di errori e di gran parte della teoria dei numeri.
| + | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 0 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | 0 | 1 |
| 3 | 3 | 4 | 0 | 1 | 2 |
| 4 | 4 | 0 | 1 | 2 | 3 |
L'aritmetica modulare definisce la congruenza: a è congruente a b mod n se n divide a-b. Gauss la sistematizzò nel 1801. È alla base di tutta la crittografia moderna a chiave pubblica: la crittografia RSA si basa sul Piccolo Teorema di Fermat, che afferma che a^(p-1) è congruente a 1 mod p per ogni numero primo p che non divide a. Le funzioni hash usano operazioni modulari per mappare input grandi in output di dimensione fissa. Gli interi mod n formano un anello completo, e quando n è primo, un campo finito.
Pi
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