Christoffer De Geer 21. března 2026

Modulární aritmetika

17 = 5 (mod 12)

17 a 5 zanechávají stejný zbytek při dělení 12

Modulární aritmetika je aritmetika na kružnici. Dvě čísla jsou shodná modulo n, pokud se liší násobkem n. Hodiny provádějí aritmetiku mod 12: 10 hodin po 5 hodinách je 3, ne 15. Tento jednoduchý myšlenka leží u základu všech moderní kryptografie, hashovacích funkcí, kódů pro korekci chyb a velké části teorie čísel.

The mod 12 clock: addition wraps around

Fermat's Little Theorem verification

a^(p−1) ≡ 1 (mod p)  when p is prime, p∤a

Example p=5, a=2: 2⁴ = 16 = 3×5 + 1 ≡ 1 (mod 5) ✓

Example p=7, a=3: 3⁶ = 729 = 104×7 + 1 ≡ 1 (mod 7) ✓

Used in RSA encryption to prove decryption recovers the original message.

Addition table for ℤ/5ℤ (integers mod 5)

Every row and column contains {0,1,2,3,4} exactly once. The five elements form a closed group under addition mod 5. Red: sums that wrap around (≥5).
+	0	1	2	3	4
0	0	1	2	3	4
1	1	2	3	4	0
2	2	3	4	0	1
3	3	4	0	1	2
4	4	0	1	2	3

Prvočísla → Číselné soustavy → Dokonalá čísla → Věta o čtyřech barvách →

Související témata

Prvočísla Dokonalá čísla Číselné soustavy

Klíčové fakta o modulární aritmetice

Modulární aritmetika definuje shodnost: a je shodné s b modulo n, pokud n dělí a-b. Gauss ji systematizoval v roce 1801. Leží u základu veškeré moderní veřejné kryptografie: RSA šifrování spoléhá na Fermatovu malou větu, která tvrdí, že a^(p-1) je shodné s 1 modulo p pro jakékoli prvočíslo p, které nedělí a. Hashovací funkce používají modulární operace k mapování velkých vstupů na výstupy pevné velikosti. Celá čísla modulo n tvoří úplný okruh, a když je n prvočíslo, konečné těleso.

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

–

⚙Engineering

–

🧬Biology

–

💻Computer Sci

✓

📊Statistics

–

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

✓

🔐Cryptography

✓

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

Jak RSA šifrování využívá modulární aritmetiku?

tap · space

1 / 10

Připraveni hrát?

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

Hrát nyní - zdarma

Bez registrace. Funguje na jakémkoli zařízení.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.