Christoffer De Geer 21 marca 2026

Arytmetyka modularna

17 = 5 (mod 12)

17 i 5 dają tę samą resztę przy dzieleniu przez 12

Arytmetyka modularna to arytmetyka na okręgu. Dwie liczby są przystające modulo n, jeśli różnią się o wielokrotność n. Zegar liczy modulo 12: 10 godzin po 5 jest 3, a nie 15. Ta prosta idea leży u podstaw nowoczesnej kryptografii, funkcji skrótu, kodów korekcyjnych i dużej części teorii liczb.

Zegar mod 12: dodawanie zawija się

Weryfikacja małego twierdzenia Fermata

a^(p−1) ≡ 1 (mod p)  when p is prime, p∤a

Przykład p=5, a=2: 2⁴ = 16 = 3×5 + 1 ≡ 1 (mod 5) ✓

Przykład p=7, a=3: 3⁶ = 729 = 104×7 + 1 ≡ 1 (mod 7) ✓

Używane w szyfrowaniu RSA do wykazania, że odszyfrowanie odzyskuje pierwotną wiadomość.

Tablica dodawania dla ℤ/5ℤ (liczb całkowitych mod 5)

Każdy wiersz i każda kolumna zawiera {0,1,2,3,4} dokładnie raz. Pięć elementów tworzy grupę domkniętą względem dodawania modulo 5. Na czerwono zaznaczono sumy, które zawijają się po przekroczeniu 4.
+	0	1	2	3	4
0	0	1	2	3	4
1	1	2	3	4	0
2	2	3	4	0	1
3	3	4	0	1	2
4	4	0	1	2	3

Liczby pierwsze → Systemy liczbowe →

Powiązane tematy

Liczby pierwsze Liczby doskonałe Systemy liczbowe

Najważniejsze fakty o arytmetyce modularnej

Arytmetyka modularna definiuje przystawanie: a jest przystające do b modulo n, jeśli n dzieli a-b. Gauss usystematyzował tę teorię w 1801 roku. Leży ona u podstaw całej współczesnej kryptografii klucza publicznego: szyfrowanie RSA opiera się na małym twierdzeniu Fermata, które mówi, że a^(p-1) jest przystające do 1 mod p dla każdej liczby pierwszej p, która nie dzieli a. Funkcje skrótu używają operacji modularnych do mapowania dużych wejść na wyniki o stałym rozmiarze. Liczby całkowite modulo n tworzą pełny pierścień, a gdy n jest pierwsze · ciało skończone.

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

–

⚙Engineering

–

🧬Biology

–

💻Computer Sci

✓

📊Statistics

–

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

✓

🔐Cryptography

✓

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

Czym jest chińskie twierdzenie o resztach?

tap · space

1 / 10

Gotowi do gry?

Pi

Zapamiętaj pi, e i 38 stałych matematycznych metodą ścieżki na klawiaturze numerycznej

Zagraj teraz - za darmo

Bez konta. Działa na każdym urządzeniu.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.