Christoffer De Geer 21 Μαρτίου 2026

Αριθμητική υπολοίπων

17 = 5 (mod 12)

τα 17 και 5 αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο όταν διαιρεθούν με το 12

Η αριθμητική υπολοίπων είναι αριθμητική σε έναν κύκλο. Δύο αριθμοί είναι ισοϋπόλοιποι modulo n αν διαφέρουν κατά ένα πολλαπλάσιο του n. Ένα ρολόι κάνει αριθμητική mod 12: 10 ώρες μετά τις 5 η ώρα είναι 3, όχι 15. Αυτή η απλή ιδέα βρίσκεται κάτω από όλη τη σύγχρονη κρυπτογραφία, τις συναρτήσεις κατακερματισμού, τους κώδικες διόρθωσης σφαλμάτων και μεγάλο μέρος της θεωρίας αριθμών.

The mod 12 clock: addition wraps around

Fermat's Little Theorem verification

a^(p−1) ≡ 1 (mod p)  when p is prime, p∤a

Example p=5, a=2: 2⁴ = 16 = 3×5 + 1 ≡ 1 (mod 5) ✓

Example p=7, a=3: 3⁶ = 729 = 104×7 + 1 ≡ 1 (mod 7) ✓

Used in RSA encryption to prove decryption recovers the original message.

Addition table for ℤ/5ℤ (integers mod 5)

Every row and column contains {0,1,2,3,4} exactly once. The five elements form a closed group under addition mod 5. Red: sums that wrap around (≥5).
+	0	1	2	3	4
0	0	1	2	3	4
1	1	2	3	4	0
2	2	3	4	0	1
3	3	4	0	1	2
4	4	0	1	2	3

Πρώτοι αριθμοί → Αριθμητικά συστήματα → Τέλειοι αριθμοί → Θεώρημα τεσσάρων χρωμάτων →

Σχετικά θέματα

Πρώτοι Τέλειοι αριθμοί Αριθμητικά συστήματα

Βασικά στοιχεία για την αριθμητική υπολοίπων

Η αριθμητική υπολοίπων ορίζει την ισοϋπολοιπότητα: το a είναι ισοϋπόλοιπο με το b mod n αν το n διαιρεί το a-b. Ο Gauss τη συστηματοποίησε το 1801. Βρίσκεται κάτω από όλη τη σύγχρονη κρυπτογραφία δημόσιου κλειδιού: η κρυπτογράφηση RSA στηρίζεται στο Μικρό Θεώρημα του Fermat, που δηλώνει ότι το a^(p-1) είναι ισοϋπόλοιπο με το 1 mod p για κάθε πρώτο p που δεν διαιρεί το a. Οι συναρτήσεις κατακερματισμού χρησιμοποιούν πράξεις υπολοίπων για να απεικονίσουν μεγάλες εισόδους σε εξόδους σταθερού μεγέθους. Οι ακέραιοι mod n σχηματίζουν έναν πλήρη δακτύλιο, και όταν το n είναι πρώτο, ένα πεπερασμένο σώμα.

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

–

⚙Engineering

–

🧬Biology

–

💻Computer Sci

✓

📊Statistics

–

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

✓

🔐Cryptography

✓

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

Ποιες είναι οι εφαρμογές της μεταθετικής αριθμητικής;

tap · space

1 / 10

Έτοιμοι να παίξετε;

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

Παίξτε τώρα - δωρεάν

Χωρίς λογαριασμό. Λειτουργεί σε κάθε συσκευή.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.