e, 오일러 수란 무엇인가?
e는 함수 eˣ가 자기 자신의 도함수인 유일한 수다. 어떤 양이 있고 그것이 연 100%의 비율로 연속적으로 증가한다고 하자. 정확히 1년 뒤 그 양은 처음의 e배가 된다. 이런 자기참조적 성질을 갖는 밑은 e뿐이다.
n이 커질수록 이 수열은 아래에서부터 e에 가까워지며, 2.71828182845904… 로 수렴한다.
| n | (1 + 1/n)ⁿ | Abstand zu e |
|---|---|---|
| 1 | 2,000000 | 0,71828 |
| 10 | 2,593742 | 0,12454 |
| 100 | 2,704814 | 0,01347 |
| 1 000 | 2,716924 | 0,00136 |
| 1 000 000 | 2,718281 | 0,0000014 |
| ∞ | 2,71828… | 0 |
복리 해석은 이렇다. 은행이 연 100%의 이자를 주되 1년에 n번 복리로 계산하면 잔액은 (1 + 1/n)ⁿ 만큼 불어난다. 월복리면 2.613, 매초 복리면 2.718에 가깝다. 연속복리를 취하면 정확히 e가 된다.
x=1에서 곡선의 높이는 e ≈ 2.718이고 접선의 기울기도 역시 e다. 어떤 다른 밑 b^x도 이런 성질을 갖지 않는다.
야코프 베르누이는 1683년 복리를 연구하다가 e를 발견했다. 오일러는 1731년경 이 수에 e라는 이름을 붙였다. e는 무리수(오일러, 1737)이고 초월수(에르미트, 1873)다. 그 소수 전개 2.71828182845904523536… 은 끝나지 않고 반복되지 않는다.
처음 $1에서 연 100% 이자라고 하자. 월복리면 $2.613, 일복리면 $2.714, 매초 복리면 $2.718이다. n→∞ 한계가 정확히 e다.
e는 약 2.71828182845904523536이다. eˣ는 모든 점에서 자기 자신의 도함수와 같은 유일한 함수다. 야코프 베르누이는 1683년 복리를 연구하다가 이 수를 발견했고, 레온하르트 오일러는 1731년경 이를 e라고 불렀다. e는 무리수이자 초월수이며, 연속 성장과 감쇠, 자연로그, 정규분포, 복리, 방사성 붕괴, 그리고 오일러의 항등식 e^(iπ)+1=0에 등장한다.
Euler's Number e is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the taylor series.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
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