Christoffer De Geer 20 марта 2026 г.

Что такое e, число Эйлера?

e = lim(1 + 1/n)ⁿ ≈ 2.71828…

e ≈ 2,71828182845904523536. Иррационально и трансцендентно.

e – единственное число, для которого функция eˣ равна своей собственной производной. Если взять любую сумму и дать ей непрерывно расти со скоростью 100 процентов в год, то ровно через один год она станет в e раз больше начальной. Ни у какого другого основания нет этого самоссылочного свойства.

Определение через предел: (1 + 1/n)ⁿ → e

По мере роста n последовательность приближается к e снизу и сходится к 2,71828182845904…

Определение через предел: (1 + 1/n)ⁿ → e

Таблица значений (1+1/n)^n, сходящихся к e.
n	(1 + 1/n)ⁿ	Расстояние до e
1	2,000000	0,71828
10	2,593742	0,12454
100	2,704814	0,01347
1 000	2,716924	0,00136
1 000 000	2,718281	0,0000014
∞	2,71828…	0

Интерпретация через сложные проценты такова: если банк платит 100 процентов годовых и начисляет проценты n раз в год, ваш капитал растёт в (1 + 1/n)ⁿ раза. Ежемесячное начисление даёт 2,613. Начисление каждую секунду даёт 2,718. Непрерывное начисление даёт точно e.

e^x: единственная функция, совпадающая со своей производной

При x=1 и высота кривой, и наклон касательной равны e ≈ 2,718. Ни у какого другого основания b^x этого свойства нет.

Якоб Бернулли открыл e в 1683 году, изучая сложные проценты. Эйлер обозначил эту константу буквой e в 1731 году. Она иррациональна (Эйлер, 1737) и трансцендентна (Эрмит, 1873). Её десятичная запись 2,71828182845904523536… никогда не повторяется.

Тождество Эйлера → Натуральный логарифм 2 → Ряд Тейлора → Приближение Стирлинга → Цепные дроби → Система Major →

Сложные проценты сходятся к e при увеличении частоты начисления

Если начать с 1 евро при 100 процентах годовых: ежемесячное начисление даёт 2,613, ежедневное – 2,714, каждую секунду – 2,718. Предел при n→∞ равен точно e.

Краткие факты о числе Эйлера e

e примерно равно 2,71828182845904523536. Это единственное число, для которого e^x в каждой точке равно собственной производной. Якоб Бернулли открыл его в 1683 году, изучая сложные проценты. Леонард Эйлер дал ему обозначение e около 1731 года. e иррационально (Эйлер, 1737) и трансцендентно (Эрмит, 1873). Оно возникает при непрерывном росте и распаде, в натуральных логарифмах, нормальном распределении, сложных процентах, радиоактивном распаде и в тождестве Эйлера e^(i*pi) + 1 = 0.

Связанные темы

Тождество Эйлера · Ln2 · Ряды Тейлора

Применяется в

∑Математика

✓

⚛Физика

✓

⚙Инженерия

✓

🧬Биология

✓

💻Информатика

✓

📊Статистика

✓

📈Финансы

✓

🎨Искусство

–

🏛Архитектура

–

♪Музыка

–

🔐Криптография

–

🌌Астрономия

–

⚗Химия

✓

🦉Философия

–

🗺География

–

🌿Экология

–

Хотите проверить свои знания?

Вопрос

Где число e появляется в нормальном распределении?

нажмите · пробел

1 / 10

Сгенерировать цифры числа Эйлера e

e has no final digit

Число Эйлера e is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the ряд тейлора.

e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ...

Готовы играть?

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

Играть сейчас - бесплатно

Без регистрации. Работает на любом устройстве.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.