Cos'è la costante di Euler-Mascheroni (γ)?
La serie armonica 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ diverge, ma cresce incredibilmente lentamente. Dopo un milione di termini raggiunge a malapena 14. Il logaritmo naturale ln(n) cresce alla stessa velocità. La costante di Euler-Mascheroni γ è la differenza precisa tra loro: γ = lim (1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ + 1/n) - ln(n).
The difference between the harmonic sum and ln(n) approaches γ ≈ 0.5772 as n → ∞. Convergence is very slow - the gap is still 0.001 at n = 1000.
γ appare in tutta l'analisi e la teoria dei numeri. Collega la serie armonica alla funzione zeta di Riemann: γ = -ζ'(1) in senso formale. Appare nella funzione Gamma Γ'(1) = -γ, nella distribuzione degli intervalli tra numeri primi, nelle funzioni di Bessel e nell'espansione asintotica della funzione digamma.
Se γ sia razionale o irrazionale è uno dei problemi aperti più antichi della matematica. Quasi tutti i matematici ritengono che sia trascendente, ma non esiste alcuna dimostrazione. È stata calcolata fino a oltre 600 miliardi di cifre decimali: 0.57721566490153286060651209008240243…
The harmonic partial sums H(n) (red, stepped) versus ln(n)+γ (blue, smooth). The gap between them approaches 0 but oscillates: H(n)−ln(n) → γ.
La costante di Euler-Mascheroni gamma è approssimativamente 0.57721566490153286060. Se sia razionale o irrazionale è sconosciuto, uno dei problemi aperti più famosi della matematica. Euler la pubblicò per primo nel 1734; Mascheroni la calcolò indipendentemente nel 1790. Gamma appare nella funzione Gamma, nella funzione zeta di Riemann, nel teorema di Mertens sui prodotti di numeri primi, nelle funzioni di Bessel e nella distribuzione degli intervalli tra numeri primi. Poiché non esiste un algoritmo di streaming, le sue cifre sono pre-calcolate e memorizzate.
Costante di Euler-Mascheroni γ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the limite armonico-logaritmico.
Pi
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