Co je Eulerova-Mascheroniho konstanta (γ)?
Harmonická řada 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ diverguje, ale roste neuvěřitelně pomalu. Po milionu členů se jen stěží dostane k 14. Přirozený logaritmus ln(n) roste stejnou rychlostí. Eulerova-Mascheroniho konstanta γ je přesná mezera mezi nimi: γ = lim (1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ + 1/n) - ln(n).
The difference between the harmonic sum and ln(n) approaches γ ≈ 0.5772 as n → ∞. Convergence is very slow - the gap is still 0.001 at n = 1000.
γ se vyskytuje v celé analýze a teorii čísel. Propojuje harmonickou řadu s Riemannovou zeta funkcí: γ = -ζ'(1) v formálním smyslu. Objevuje se ve funkci Gamma Γ'(1) = -γ, v rozdělení mezery prvočísel, v Besselových funkcích a v asymptotickém rozvoji digamma funkce.
Zda je γ racionální nebo iracionální, je jedním z nejstarších otevřených problémů matematiky. Skoro každý matematik věří, že je transcendentní, ale důkaz neexistuje. Byla vypočítána na více než 600 miliard desetinných míst: 0.57721566490153286060651209008240243…
The harmonic partial sums H(n) (red, stepped) versus ln(n)+γ (blue, smooth). The gap between them approaches 0 but oscillates: H(n)−ln(n) → γ.
Eulerova-Mascheroniho konstanta gamma je přibližně 0.57721566490153286060. Zda je racionální nebo iracionální, je neznámé, jedná se o jeden z nejznámějších otevřených problémů matematiky. Euler ji poprvé publikoval v roce 1734; Mascheroni ji nezávisle vypočítal v roce 1790. Gamma se vyskytuje ve funkci Gamma, Riemannově zeta funkci, Mertensově větě o produktech prvočísel, Besselových funkcích a rozdělení mezery prvočísel. Protože neexistuje streamovací algoritmus, její číslice jsou předpočítány a uloženy.
Eulerova-Mascheroniho konstanta γ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the limit harmonické řady a logaritmu.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Hrát nyní - zdarmaBez registrace. Funguje na jakémkoli zařízení.
