Christoffer De Geer 20 Μαρτίου 2026

Τι είναι η σταθερά Euler-Mascheroni (γ);

γ = lim (1 + 1/2 + ⋯ + 1/n) - ln(n)

γ ≈ 0.57721566490153286060. Υπολογισμένη σε 600 δισεκατομμύρια ψηφία. Αρρητότητα άγνωστη.

Η αρμονική σειρά 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ αποκλίνει, αλλά αυξάνεται απίστευτα αργά. Μετά από ένα εκατομμύριο όρους μόλις φτάνει το 14. Ο φυσικός λογάριθμος ln(n) αυξάνεται με τον ίδιο ρυθμό. Η σταθερά Euler-Mascheroni γ είναι το ακριβές χάσμα μεταξύ τους: γ = lim (1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ + 1/n) - ln(n).

H(n) − ln(n) converges to the Euler-Mascheroni constant γ

The difference between the harmonic sum and ln(n) approaches γ ≈ 0.5772 as n → ∞. Convergence is very slow – the gap is still 0.001 at n = 1000.

Η γ εμφανίζεται σε όλη την ανάλυση και τη θεωρία αριθμών. Συνδέει την αρμονική σειρά με τη συνάρτηση ζήτα του Riemann: γ = -ζ'(1) με μια τυπική έννοια. Εμφανίζεται στη συνάρτηση Γάμμα Γ'(1) = -γ, στην κατανομή των κενών μεταξύ πρώτων, στις συναρτήσεις Bessel, και στο ασυμπτωτικό ανάπτυγμα της διγάμμα συνάρτησης.

Key facts about γ

γ = lim(n→∞) [H(n) − ln(n)] ≈ 0.5772156649…

γ = −Γ'(1) = −∫₀^∞ e⁻ˣ ln(x) dx

Whether γ is irrational is unknown – one of the oldest open problems in mathematics.

Το αν η γ είναι ρητή ή άρρητη είναι ένα από τα παλαιότερα ανοιχτά προβλήματα στα μαθηματικά. Σχεδόν κάθε μαθηματικός πιστεύει ότι είναι υπερβατική, αλλά δεν υπάρχει απόδειξη. Έχει υπολογιστεί σε πάνω από 600 δισεκατομμύρια δεκαδικά ψηφία: 0.57721566490153286060651209008240243…

Αρμονική σειρά → Σταθερά Meissel-Mertens → Συνάρτηση ζήτα του Riemann → Προσέγγιση του Stirling →

Harmonic staircase H(n) versus smooth ln(n) + γ

The harmonic partial sums H(n) (red, stepped) versus ln(n)+γ (blue, smooth). The gap between them approaches 0 but oscillates: H(n)−ln(n) → γ.

Βασικά στοιχεία για τη σταθερά Euler-Mascheroni γ

Η σταθερά Euler-Mascheroni gamma είναι περίπου 0.57721566490153286060. Το αν είναι ρητή ή άρρητη είναι άγνωστο, ένα από τα πιο διάσημα ανοιχτά προβλήματα στα μαθηματικά. Ο Euler την δημοσίευσε πρώτος το 1734· ο Mascheroni την υπολόγισε ανεξάρτητα το 1790. Η gamma εμφανίζεται στη συνάρτηση Γάμμα, στη συνάρτηση ζήτα του Riemann, στο θεώρημα του Mertens για τα γινόμενα πρώτων, στις συναρτήσεις Bessel, και στην κατανομή των κενών μεταξύ πρώτων. Καθώς δεν υπάρχει αλγόριθμος ροής, τα ψηφία της είναι προϋπολογισμένα και αποθηκευμένα.

Σχετικά θέματα

Αρμονική σειρά Meissel-Mertens Ζήτα Riemann

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

✓

⚙Engineering

–

🧬Biology

–

💻Computer Sci

✓

📊Statistics

–

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

Πού αλλού εμφανίζεται η γ;

tap · space

1 / 10

Περιηγηθείτε στα ψηφία της σταθεράς Euler-Mascheroni γ

γ has no final digit

Σταθερά Euler-Mascheroni γ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the όριο αρμονικής-λογαρίθμου.

γ = lim(n→∞) (1 + 1/2 + ... + 1/n − ln n)

Έτοιμοι να παίξετε;

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

Παίξτε τώρα - δωρεάν

Χωρίς λογαριασμό. Λειτουργεί σε κάθε συσκευή.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.