דלג לתוכן המרכזי
Christoffer De Geer
Christoffer De Geer

מהו אינסוף?

|N| = |Z| = |Q| < |R|
אינסוף בר-מנייה קטן ממש מאינסוף בלתי-בר-מנייה

אינסוף אינו דבר אחד. גאורג קנטור הראה ב-1874 שאינסופים מסוימים גדולים באמת מאחרים. השלמים, השברים והמספרים הזוגיים כולם אינסופיים במידה שווה. אך המספרים הממשיים מהווים אינסוף גדול ממש, ואף רשימה אינה יכולה להכיל את כולם.

Cantor's diagonal argument: why the reals cannot be listed
SUPPOSED COMPLETE LIST r1 = 0. 4 1 5 9 2 6... r2 = 0.7 8 2 4 3 1... r3 = 0.31 4 1 5 9... r4 = 0.271 8 2 8... r5 = 0.1415 9 2... ... (infinitely many rows) DIAGONAL d = 0.4849... Change each digit: 4→5, 8→9, 4→5, 8→9 d* = 0.5959... NOT on the list! Any list of reals is incomplete. The diagonal number differs from every row at its own position.
Sizes of infinity: a strict hierarchy
N: aleph-0 Z (integers) same size as N Q (rationals) same size as N R (reals): strictly larger uncountable: cannot be listed countable |P(N)| = |R| = 2^(aleph-0) (the continuum)

The natural numbers, integers, and rationals are all countably infinite: they can all be put in a one-to-one correspondence with each other. The real numbers are uncountably infinite: a strictly larger infinity. Between these two sizes, the Continuum Hypothesis asks whether there is anything in between.

Hilbert's Hotel: a hotel with infinitely many rooms, all full, always has room
HILBERT'S HOTEL (fully occupied) {[1,2,3,4,5,6,7].map((n, i) => `${n}`).join('')} ... New guest Solution: move guest n to room n+1. Room 1 is now free. infinity + 1 = infinity.
מספרים אי-רציונליים → שיטות ספירה → מספרים ראשוניים → הטור ההרמוני → פונקציית הזטא של רימן →
נושאים קשורים
מספרים אי-רציונליים ראשוניים זטא של רימן
עובדות מפתח על אינסוף

קנטור הוכיח ב-1874 שלא כל האינסופים שווים. מספרים טבעיים, שלמים ורציונליים הם אינסופיים בני-מנייה: ניתן לרשום אותם. מספרים ממשיים הם אינסופיים בלתי-בני-מנייה: אין רשימה מלאה, הוכח באמצעות הטיעון האלכסוני. משפט קנטור מראה שלקבוצת החזקה של כל קבוצה יש עוצמה גדולה ממש מהקבוצה, מה שמייצר היררכיה אינסופית של אינסופים. השערת הרצף, שלפיה אין אינסוף בין השלמים לממשיים, הוכחה כבלתי-תלויה בתורת הקבוצות הסטנדרטית.

Used in
∑Mathematics
✓
⚛Physics
✓
⚙Engineering
–
🧬Biology
–
💻Computer Sci
✓
📊Statistics
–
📈Finance
–
🎨Art
–
🏛Architecture
–
♪Music
–
🔐Cryptography
–
🌌Astronomy
–
⚗Chemistry
–
🦉Philosophy
✓
🗺Geography
–
🌿Ecology
–
Want to test your knowledge?
Question
מהו סכום 1+2+3+4+...?
tap · space
1 / 10
מוכנים לשחק?
π

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

שחקו עכשיו - בחינם

ללא חשבון. עובד בכל מכשיר.

עוד משחקים בחינם
🧮Math LabA lab of timed number drills · arithmetic, trigonometry, prime spotting and fraction sizing, each on its own tab🧠Memory GameMatch emoji cards with their word labels across 10 categories
Topic roundups
#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.
MemPi
שחק בטיסה הבאה שלך · עובד גם ללא חיבור
הוסף את PlayMemorize למסך הבית
ב-Safari הקש על שתף , ולאחר מכן בחר "הוסף למסך הבית".